Progetto Piastre

Università degli studi di Modena e Reggio Emilia

Corso di laurea triennale in Ingegneria Civile

Relazione di complementi di scienza delle costruzioni

Professore: Ing. Luca Lanzoni

Studente: Emerson Chango

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Indice

• Metodo di Levy ......................................................................................................................................... 2
• Metodo di Navier ..................................................................................................................................... 7
• Flessione cilindrica ................................................................................................................................10
• Confronto risultati - FEM .....................................................................................................................11

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Metodo di Levy

Considero per prima ipotesi 3 linee elastiche in quanto vi sono due carichi distribuiti diversi sulla piastra sottile: quello del peso proprio e quello parzialmente caricato in mezzeria. Considero un sistema di riferimento con origine a metà del lato lungo.

4 2 3

w01[y_]:=(q1 y )/(24 B) + C1+y C2+y C3+y C4;

4 2 3

w02[y_]:=(q2 y )/(24 B) + D1+y D2+y D3+y D4;

4 2 3

w03[y_]:=(q1 y )/(24 B) + E1+y E2+y E3+y E4;

Condizioni al contorno

Impongo 12 condizioni al contorno per trovare le 12 costanti d’integrazione:

• w01[0] == 0 spostamento nullo
• [0]w01'' == 0 momento nullo
• w01[] w02[0]== continuità di spostamento
• ′ ′ [] [0]w01 == w02 continuità di rotazione
• w03[] == 0 spostamento nullo
• []w03'' == 0 momento nullo
• [] [0]w01'' == w02'' continuità di momento
• [] [0]w01''' == w02''' continuità di taglio
• w02[] w03[0]== continuità di spostamento
• ′ ′ [] [0]w02 == w03 continuità di rotazione
• [] [0]w02'' == w03'' continuità di momento
• w02'''[] == w03'''[0] continuità di taglio

Costanti d’integrazione

Si trovano le seguenti costanti d’integrazione:

3 4 4 (14q1+13q2) (2q1+q2) 11( q1+ q2)

C1 = 0; C2 = ; C3 = 0; C4 = − ; D1 = ; D2 =

24 12 24

3 2 2 4 4 3 (6q1+7q2) q1+ q2 q2 11( q1+ q2) (6q1+7q2); D3 = − ; D4 = − ; E1 = ; E2 = − ; E3 =

24 4 12 24 24

2 2 q1+ q2 q2

− ; E4 = ;

4 12

2

Soluzione particolare

Esprimiamo in termini di seni la soluzione particolare w02 traslata di b in quanto si osserva una deformata simmetrica rispetto alla mezzeria.

4 4 3 2 2 2 3 11( q1+ q2) (6q1+7q2)(−1000+) ( q1+ q2)(−1000+) q2(−1000+)

Integrate[Sin[ ]( + − − +

3 24 24 4 12

4

q2(−1000+) ), {, 0,3}] Integrate[Sin[ ]Sin[ ], {, 0,3}]= an

24 3 32 1 4 4 4 4 = ( (1000000000000 q2 + 2000000000 q2 −

5 53 8 2 2 2 2 2 4 2 2 4 46000000 (18q2 + (q1 + q2)) + (1944q2 + 108 (q1 + q2) + 11 (q1 +

3 2 2 2 2 4 4

q2)) − 1000 (108q2 + (6q1 + 7q2)) − (1000000000000 q2 −

4 4 2 4 4 2 2 3 4 4

10000000000 q2 − 6000000 ( (q1 − 5q2) + 18 q2) + 5000 ( (6q1 −

2 2 4 2 2 4 4

5q2) + 108 q2) + (108 (q1 − 5q2) + 1944q2 + 5 (−5q1 + q2))) ∗ (−1)))

Una volta trovato il termine an della serie possiamo esprimere la soluzione particolare in termini di seni.

w01bis [y_] = Sum[ ∗ (Sin[ ]), {, 1, , 2}];

3

Soluzione omogenea

A questa soluzione particolare che è quella della flessione cilindrica (linea elastica) aggiungo la soluzione omogenea w1.

La funzione deve essere una funzione bi-armonica, tanto che il suo bi-laplaciano deve essere

1 4

∇ = 0

uguale a zero.

1

In quanto la funzione w1 deve essere pari in x, ovvero deve essere simmetrico rispetto all’asse y allora le costanti e sono uguali a zero. E quindi sono necessarie solo due condizioni al

2 3

contorno.

3

Condizioni al contorno:

• [[, ], {, 2}]/. { → } = 0 il momento è nullo in quanto vi è un appoggio.
• [, ] = 0 lo spostamento è nullo.

1 4 4 4