Problemi svolti di fisica: operazioni tra vettori (2)

2018-2019 Problemi svolti di fisica

Scalari e vettori: operazioni tra vettori (2)

2018-2019 Problemi svolti di fisica Scalari e vettori: operazioni tra vettori (2)

L’ingresso del parco cittadino è a 8,0 km dal parcheggio dello stadio in direzione Est. Un ciclista parte dal parcheggio e compie 6,9 km in direzione Est ^30° Nord fino all’incrocio di via Palestro.

In quale direzione dovrà successivamente dirigersi per raggiungere l’ingresso del parco? Qual è la distanza che dovrà ancora percorrere?

Risolvi il problema eseguendo prima una rappresentazione in scala e poi attraverso il calcolo.

Dati

• Posizione parco rispetto allo stadio: 8,0 km in direzione Est.
• Primo spostamento del ciclista: 6,9 km in direzione Est ^30° Nord.

Incognite

• Direzione che il ciclista deve tenere nel secondo spostamento.
• Distanza che il ciclista dovrà ancora percorrere.

Iniziamo rappresentando il problema in un diagramma cartesiano in scala con l’asse y diretto verso Nord e l’asse x verso Est.

Poniamo il parcheggio nell’origine O e indichiamo la posizione P del parco cittadino come indicato in figura.

Figura 1.1: Rappresentazione cartesiana degli spostamenti del problema. Il vettore corrispondente al secondo spostamento (\(\vec{s_2}\)) è pari alla differenza vettoriale tra \(\vec{s}\) ed \(\vec{s_1}\).

Per raggiungere il parco partendo dal parcheggio, il ciclista dovrà compiere lo spostamento \(\vec{s}\) indicato in figura.

Nel primo tratto il ciclista compie lo spostamento \(\vec{s_1}\).

Lo spostamento totale del ciclista è dato dalla somma vettoriale dei suoi due spostamenti. Indicando con s̅₂ il vettore corrispondente al secondo spostamento, avremo:

s̅ = s̅₁ + s̅₂

da cui risolvendo rispetto ad s̅₂:

s̅₂ = s̅ - s̅₁

Utilizzando la regola per eseguire graficamente la differenza di vettori, otteniamo che il secondo spostamento è dato dal vettore che si ottiene congiungendo la punta di s̅₁ con la punta di s̅ come indicato in figura.

Misurando con il righello e il goniometro si trova che il modulo del vettore s̅₂ è pari a 4,0 km e che la sua direzione è pari a Est 60° Sud.

Per determinare il risultato per via analitica, determiniamo innanzitutto le componenti dei vettori spostamento totale e primo spostamento. Il primo spostamento è diretto come l’asse x, pertanto si ha:

s_x = 8 km

Per il secondo spostamento dobbiamo invece ricorrere alle relazioni dei triangoli notevoli:

s_1,x = s₁ • √3/2 = 6,9 km • √3/2 = 6,0 km

s_1,y = s₁ • 1/2 = 6,9 km • 1/2 = 3,5 km

Ricordando che s̅₂ = s̅ - s̅₁, eseguiamo la differenza tra le componenti dei due vettori:

s_2,x = 8,0 km - 6,0 km = 2,0 km

s_2,y = 0 km - 3,5 km = -3,5 km