Piani della retta che tagliano la sfera di raggio R

Piani della retta che tagliano la sfera di raggio R.

Applicazione lineare.

Piani della retta che tagliano la sfera di raggio R.

Sia Σ la sfera di centro C(−1, 0, 2) e raggio R = 3. Trovare, se esistono, i piani per s:

3x + y - 5 = 0

2x - z − 1 = 0

che tagliano Σ lungo una circonferenza di raggio 1.

1. La sfera Σ ha equazione

   Σ : (x + 1)² + y² + (z − 2)² = 9

   Sia π un generico piano per s

   π : 3x + y − 5 + k(2x − z − 1) = 0

   π : (2k + 3)x + y − kz − k − 5 = 0

   La circonferenza data dall’intersezione della sfera Σ con il piano π ha raggio r uguale ad 1 se e solo se d(C, π) = √R² − r² = √8

   O

   rad(C, π) = |−2k − 3 − 2k − k − 5| / √(2k + 3)² + 1 + k² = |−5k − 8| / √5k² + 12k + 10

   |−5k − 8| / √5k² + 12k + 10 = √8 ⇔ (5k − 8)² = 8 (5k² + 12k + 10) ⇔ 15k² + 16k − 16 = 0

   Poiché l’equazione non ammette soluzioni reali, possiamo concludere che non esistono piani che tagliano Σ lungo una circonferenza di raggio 1.