Periodo delle piccole oscillazioni

Periodo delle piccole oscillazioni calcolo vettoriale ed analisi dimensionale

Periodo delle piccole oscillazioni calcolo vettoriale ed analisi dimensionale

Sfruttando il principio di omogeneità, si determini l‘espressione del periodo delle piccole oscillazioni di un pendolo semplice sapendo che può dipendere, mediante una costante adimensionale, solo dalla massa m del pendolo, dalla lunghezza l del filo e dall‘accelerazione di gravità g.

Indichiamo con il periodo di oscillazione del pendolo, e supponiamo che esso dipenda dalla massa m del corpo, dall‘accelerazione di gravità g e dalla lunghezza l del pendolo secondo una legge della forma: τ = ^xyz, (1)

Dove k, x, y e z sono tre costanti numeriche adimensionali da determinare. Per questo, osserviamo che, per il principio di omogeneità, le dimensioni delle grandezze a sinistra e destra nell‘equazione (1) devono essere le stesse.

Se consideriamo le dimensioni di ambo i membri di detta equazione e teniamo conto che [] = [], [] = [], [] = [][]⁻² e [] = [], dove [], [] e [] sono le unità fondamentali di tempo, lunghezza e massa, rispettivamente, deve dunque risultare: [] = []^x[]^y[]^z = []^x[]^y+z[]^−2y. (2)