Matematica finanziaria - esercizi, risultati, spiegazioni

Corso di Matematica finanziaria

Eserciziario di Matematica finanziaria

LUISS

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Indice

1. Grandezze finanziarie di base 5

I la valutazione in condizioni di certezza

2. La teoria delle leggi finanziarie 7
3. Valore di contratti finanziari con flusso noto 11
4. Contratti di rendita e ammortamento di un capitale 12
5. Il tasso interno di rendimento 16

II le operazioni finanziarie nel mercato

6. La struttura per scadenza dei tassi di interesse 19
7. Valore e prezzo di mercato di contratti finanziari con flusso noto 24
8. Il tasso di parità 25
9. Indici temporali e di variabilità 28
10. Strategie di arbitraggio 30
11. La misurazione della struttura per scadenza dei tassi di interesse 32
12. Valutazione di arbitraggio di piani a tasso variabile 35

Riferimento bibliografico 39

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1 Grandezze finanziarie di base

Riferimenti bibliografici: [CDM] Cap. 1, Cap. 4

Esercizio 1.1

Si consideri al tempo t = 0 l'operazione finanziaria di durata 105 giorni con valore iniziale x_t = 98.20 e valore finale x_T = 102.40, ed essendo s = 105 giorni. Relativamente al periodo (0, 105) siano calcolati il fattore di sconto, il fattore montante, l'interesse, il tasso d'interesse periodale, il tasso di sconto, l'intensità d'interesse e l'intensità di sconto.

Soluzione

Il fattore di sconto è calcolato dalla:

v(0, 105) = _xt⁄_xT = 98.20 ⁄ 102.40 = 0.95898,

mentre il fattore montante, essendo il reciproco del fattore di sconto, si ottiene dalla:

m(0, 105) = _xT⁄_xt = 102.40 ⁄ 98.20 = 1.04277.

L'interesse è:

I(0, 105) = x_T − x_t = 102.40 − 98.20 = 4.20 €.

Il tasso d'interesse periodale è dato dal rapporto tra l'interesse e il valore iniziale x_t, ossia:

i(0, 105) = _{xT − xt}⁄_xt = 102.40 − 98.20 ⁄ 98.20 = 4.27699,

mentre il tasso di sconto periodale è ottenuto dal rapporto tra l'interesse e il valore finale x_T, ossia:

d(0, 105) = _{xT − xt}⁄_xT = 102.40 − 98.20 ⁄ 102.40 = 4.101567.

L'intensità d'interesse e di sconto sono date dal rapporto, rispettivamente, tra il tasso di interesse periodale e l'ampiezza dell'orizzonte di scambio, e il tasso di sconto periodale e l'ampiezza dell'orizzonte di scambio, quindi:

γ(0, 105) = _i(0,105)⁄₁₀₅,

α(0, 105) = _d(0,105)⁄₁₀₅,

da cui si ottengono i valori:

γ(0, 105) = 0.000407 giorni⁻¹,

α(0, 105) = 0.000391 giorni⁻¹.

Esercizio 1.2

Si consideri l'operazione finanziaria dell'esercizio 1.1, si ipotizzi per l'anno la durata civile (365 giorni). (a) Calcolare il tasso di interesse equivalente, su base annua e su base semestrale, se il tasso d'interesse periodale nel caso di legge esponenziale e nel caso di legge lineare. (b) Calcolare l'intensità istantanea d'interesse su base annua e su base semestrale nel caso di legge esponenziale.

Soluzione

(a) Il tasso d'interesse su base annua, equivalente in legge esponenziale al tasso periodale j(0, 105) (su base 105 giorni), si può calcolare tramite:

i = [1 + j(0, 105)]^y − 1,

dove y è il fattore su base annua, uguale a 365/105; quindi i = 15.67156%.

Il tasso d'interesse su base semestrale è calcolato dal tasso di interesse su base annua essendo il fattore di scala q = 1/2, ossia:

i_se = (1 + 0.15672)^1/2 - 1 = 7.55071%.

Il tasso d'interesse su base annua equivalente in legge lineare al tasso periodale j(0,105) è calcolato dalla:

i = j(0,105)^365/105 = 14.86762%.

In maniera analoga il tasso d'interesse su base semestrale è:

i_se = 1/2 0.1486762 = 7.43381%.

(b) L'intensità istantanea d'interesse su base annua è:

δ = ln (1 + i) = 0.14559 anni^-1,

essendo i il tasso di interesse su base annua. Se nella precedente relazione si considera il tasso di interesse i_se = 7.55071% su base semestrale si otterrà l'intensità istantanea di interesse su base semestrale, δ_se = 0.07279 semestri^-1.

Esercizio 1.3

Si consideri l'operazione finanziaria che garantisce il raddoppio del capitale investito in 2 anni e 3 mesi; calcolare il tasso di interesse e il tasso di sconto su base periodale. Calcolare il tasso d'interesse equivalente su base annua e su base semestrale nel caso di legge esponenziale.

Soluzione

Si indichi con x_t il capitale investito nell'istante di tempo t = 0. Sia s = 2.25 anni, x_s = 2x_t l'