Il transitorio RC

Il transitorio RC --- Il transitorio RC

Il circuito in figura 39A consente, mediante il deviatore, di commutare la tensione v_i in ingresso al circuito RC serie, tra i valori 0 V ed E. La tensione v_c ai capi del condensatore, dopo la commutazione 0→E, ha il seguente andamento nel tempo.

a) Se C è inizialmente scarico, l’espressione della v_C in funzione del tempo è:

v_C(t) = E·(1–e^–t/RC) (1.35)

dove il prodotto RC ha la dimensione di un tempo ed è detto costante di tempo τ = RC.

Dalla formula 1.35 si ricava che la tensione v_c è nulla nell’istante iniziale (t = 0) e tende poi in maniera esponenziale asintotica al valore E, raggiungendone circa il 99% del valore dopo un tempo T = 5 RC = 5τ, come rappresentato nel diagramma in figura 41C.

Figura 41 Transitori nel circuito RC: A) schema elettrico; B) tensione d’ingresso; C) tensione sul condensatore; D) corrente.

Se C è inizialmente carico con una tensione Vin, l'espressione della vc (t) è più complessa e diviene:

vc (t) = Vfin − (Vfin − Vin) ⋅ e^{−t ⁄ RC} (1.36)

dove Vfin è il valore asintotico finale, che nel caso di figura 41 corrisponde alla tensione E del generatore. Si noti che nel caso Vin = 0 la formula 1.36 si riduce all'espressione 1.35.

La corrente i nel circuito (figura 41), dopo un picco iniziale, tende a zero esponenzialmente man mano che il valore della tensione sul condensatore si avvicina a quello del generatore; ciò conferma il fatto che, a regime, il condensatore si comporta come un circuito aperto. L'espressione della corrente in funzione del tempo è:

i(t) = E ⁄ R ⋅ e^{−t ⁄ RC} (1.37)

Quando la tensione d'ingresso commuta il suo valore (Vi = E→0) (porzione destra dei grafici in figura 41) la tensione vc scende a zero con l'andamento dato dalla formula:

vc (t) = E ⋅ e^{−t ⁄ RC} (1.38)

mentre la corrente ha verso negativo, poiché il condensatore ora si scarica verso massa attraverso la resistenza; l'espressione della i è sempre la formula 1.37, ma con davanti il segno negativo.

Le due grandezze (V e I) sia nella carica (con condensatore inizialmente scarico) che nella scarica, esauriscono il transitorio (al 99%) in un tempo dato da:

T = 5 RC = 5_T (1.39)