Il modello di Rasch

Il modello di Rasch

Il concetto di variabile latente

Le variabili latenti sono variabili non direttamente osservabili. Sono inferite, in genere attraverso l’uso di un modello matematico, da variabili direttamente osservabili (variabili manifeste). Il principale vantaggio nell’uso di variabili latenti consiste nella possibilità di ridurre la dimensionalità dei dati: l’andamento di un ampio numero di variabili osservate può essere giustificato da un costrutto latente, rendendo così più semplice la comprensione e giustificazione dei dati.

Esempio 1

Immaginiamo di investigare se una persona:

• È pignola sul lavoro
• Riflette prima di prendere un’iniziativa
• Cura ogni cosa nei minimi dettagli
• Dedicare molto tempo alla revisione di un lavoro prima di consegnarlo

Queste variabili manifeste possono essere spiegate in base al costrutto latente della scrupolosità.

Esempio 2

Immaginiamo di investigare se una persona:

• Ama assumersi dei rischi
• Si lancia con il paracadute
• Ama la guida veloce
• Pratica il free climbing

Queste variabili manifeste possono essere spiegate in base al costrutto latente dell’audacia.

Modelli per variabili latenti

Un modello per variabili latenti è un modello matematico che mette in relazione un insieme di variabili manifeste con un insieme di variabili latenti. Si assume che:

• Le risposte alle variabili manifeste siano il risultato della variabile latente del soggetto.
• Le variabili manifeste non abbiano nulla in comune dopo aver controllato per la variabile latente (indipendenza locale).

A seconda che le variabili manifeste e latenti siano discrete o continue, è possibile individuare diversi tipi di modelli a variabili latenti: i modelli di Rasch sono un tipo di modelli a tratti latenti.

Esempio di latent profile analysis

De France e Hollenstein (2017) hanno individuato tre profili di individui che differiscono uno dall’altro per l’uso di sei diverse strategie di regolazione delle emozioni:

Punteggi e misure

Per il ricercatore, ma anche per l’uomo comune, "misurare" implica trattare numeri con i quali sia possibile fare aritmetica. Tali numeri possono essere sommati, sottratti, moltiplicati e divisi e il risultato di queste operazioni conserva un significato numerico.

In psicologia si è soliti costruire punteggi contando il numero di risposte fornite ad un test e utilizzare poi tali punteggi (o trasformazioni lineari degli stessi) come se fossero misure. Questa pratica ha rappresentato e rappresenta tuttora un ostacolo allo sviluppo di una vera scienza psicologica. Secondo Wright (1984), gli psicologi non costruiranno un sapere rigoroso finché continueranno ad analizzare i punteggi osservati come se fossero misure.

Le misure sono sempre valori di livello intervallare o rapporto. Di converso, il risultato di un’osservazione è sempre ordinale, se non nominale. Tutte le classificazioni sono quindi di tipo qualitativo. Alcune classificazioni sono di tipo nominale (ad es., quelle basate sul genere, sulla razza, ...), altre sono di tipo ordinale (ad es., titolo di studio, livello di accordo espresso su scala Likert, …).

Nelle classificazioni di tipo nominale è possibile contare soltanto la presenza o l’assenza di una specifica qualità. Nelle classificazioni di tipo ordinale è possibile contare anche il numero di categorie che precedono la particolare categoria osservata. Il risultato del conteggio è un "punteggio grezzo" o semplicemente "punteggio".

Le misure presuppongono la costruzione di un sistema quantitativo astratto caratterizzato da un’origine e da un’unità di misura. I punteggi sembrano misure perché danno l’idea di appartenere ad una primitiva scala rapporto: hanno un’ovvia origine nel punteggio 0- e un’apparente unità di misura nel valore +1-

Esempio 1

Si consideri un test di capacità locomotoria che contiene i due item:

• Camminare su terreno pianeggiante
• Salire le scale posando un solo piede su ciascun gradino

Queste due attività rappresentano prove di difficoltà molto diversa. Assegnare uno stesso punteggio (ad es., 1) per la riuscita in ciascuno dei due item non corrisponde a capacità locomotoria identica. Riuscire nel secondo item indica un livello di capacità locomotoria maggiore rispetto a riuscire nel primo item.

Esempio 2

Si consideri un test di valutazione del disturbo alimentare che contiene i due item:

• Mi alleno soltanto per bruciare calorie
• Vomito regolarmente per controllare il mio peso

Queste due attività indicano livelli di gravità del disturbo alimentare molto diversi. Assegnare uno stesso punteggio (ad es., 1) per la messa in atto di ciascuna delle due attività non corrisponde ad uno stesso livello di gravità del disturbo alimentare. Una risposta affermativa al secondo item indica un disturbo alimentare più grave rispetto a una risposta affermativa al primo item.

Esempio 3

Si consideri l’item "Quanto è difficile per lei saltare su un piede solo, con la gamba del lato dominante?" valutato sulla scala seguente:

• Impossibile – 0
• Molto difficile – 1
• Difficile – 2
• Facile – 3

Immaginiamo due somministrazioni successive dell’item (tempo 1 e tempo 2) agli stessi soggetti. È impossibile affermare a priori che un soggetto che risponda "Difficile" (punteggio 2) al tempo 1 e "Facile" (punteggio 3) al tempo 2 abbia compiuto lo stesso progresso di un soggetto che risponda "Impossibile" (punteggio 0) al tempo 1 e "Molto difficile" (punteggio 1) al tempo 2, e questo nonostante il punteggio sia aumentato di 1 in entrambi i casi.

Relazione tra punteggi e misure

La relazione tra punteggi e misure è di tipo ogivale perché l’intervallo finito tra punteggio minimo e massimo deve essere esteso all’intervallo infinito delle misure. Al centro dell’ogiva la relazione tra punteggi e misure è approssimativamente lineare. Pertanto, quando le analisi statistiche si concentrano su punteggi centrali, le conclusioni a cui si giunge sono analoghe a quelle ottenute con le misure.

La relazione approssimativamente lineare fra punteggi e misure si deteriora con l’avvicinarsi dei punteggi a valori estremi. Ad es., la distanza tra misure che corrisponde a un incremento del punteggio da 50% a 60% è minore della distanza tra misure che corrisponde a un incremento del punteggio da 85% a 95%.

La misurazione fondamentale

È il tipo di misurazione che si realizza solitamente in fisica (ad es., tempo, lunghezza, massa). Presuppone la possibilità di concatenare gli oggetti misurati. Consente l’operazione numerica dell’addizione che corrisponde alla concatenazione degli oggetti misurati. Viene stabilita una corrispondenza uno a uno tra la struttura additiva dei numeri reali e la struttura caratteristica di un insieme di oggetti che viene misurato.

Esempio 1

La misura della massa di un oggetto è un esempio di misurazione fondamentale. Infatti, se si ha un insieme di oggetti, ciascuno dei quali è rappresentato dalla sua particolare massa, la concatenazione delle rispettive masse corrisponde alla massa che si ottiene quando gli elementi vengono messi insieme. L’operazione di addizione tra le misure associate alle masse degli oggetti corrisponde alla concatenazione degli oggetti.

Esempio 2

La misura della lunghezza di un oggetto è un altro esempio di misurazione fondamentale. In un insieme di assicelle di legno, esiste un’operazione di concatenazione che consente di comporre due assicelle formando una avente lunghezza pari alla loro somma. L’operazione di addizione tra le misure associate alle lunghezze delle assicelle corrisponde alla concatenazione delle assicelle.

La misurazione fondamentale può essere ottenuta entro un sistema di riferimento bidimensionale:

• Forza e massa → accelerazione
• Calore e liquido → espansione
• Persone e item → risposte

Il sistema di riferimento bidimensionale consente di creare una struttura additiva che soddisfa le proprietà della misurazione fondamentale. Ad esempio, secondo la legge della meccanica classica, se si esercita una forza F_v su di un oggetto rigido di massa M_i si ottiene un’accelerazione A_vi: L’equazione (0.1) corrisponde ad una struttura moltiplicativa che, per mezzo di una trasformazione logaritmica, diventa additiva: ln F − ln M = ln A (0.2)

Posto: ln F = f, ln M = m e ln A = a, l’equazione (0.2) diventa: f − m = a (0.3)

La struttura additiva gode della proprietà denominata invarianza di confronto: il confronto tra due elementi di un medesimo insieme deve mantenere il medesimo significato lungo il continuum della variabile. Proseguendo con l’esempio di massa e forza, si osserva che la differenza tra due masse qualsiasi è invariante qualunque sia la forza che viene impressa. Date due masse m_i e m_j, se viene loro impressa la forza f_v, allora:

a_vi − a_vj = (f_v − m_i) − (f_v − m_j)

da cui si ottiene: a_vi − a_vj = m_j − m_i

Analogamente, se la forza è f_z: a_zi − a_zj = m_j − m_i

O qualunque altra forza.

Quanto dimostrato per la massa si può dimostrare anche per la forza. Dati f_v e f_z e inoltre m_i e m_j:

a_vi − a_zi = (f_v − m_i) − (f_z − m_i) = f_v − f_z e a_vj − a_zj = (f_v − m_j) − (f_z − m_j) = f_v − f_z

La differenza tra due forze non varia qualunque sia la massa sulla quale la forza viene impressa. La struttura additiva e l’invarianza dei confronti:

• Sono proprietà caratteristiche della misurazione fondamentale
• Consentono la definizione di variabili quantitative che rendono possibile la rappresentazione della struttura di tali variabili con la struttura additiva caratteristica dei numeri

La struttura parametrica del modello di Rasch

Dato un insieme di persone S = {1, 2, ...v...N} e un insieme di item I = {1, 2, ...i...k}, per ogni coppia persona-item (v, i) si osserva una risposta X_vi. Ciascun soggetto v è pienamente caratterizzato, in relazione alle risposte che fornisce agli item I = {1, 2, ...i...k}, da un parametro A_v che rappresenta una specifica caratteristica del soggetto definita abilità del soggetto. Analogamente, ciascun item i è pienamente caratterizzato, in relazione alle risposte che riceve dai soggetti S = {1, 2, ...v...N}, da un parametro D_i che rappresenta una specifica caratteristica dell’item definita difficoltà dell’item. L_vi è il risultato che si genera nel momento in cui A_v incide su D_i.

Seguendo il medesimo approccio della misurazione di massa e forza della meccanica classica, Rasch definì la struttura parametrica del suo modello come struttura moltiplicativa prima e additiva poi. In particolare:

e per mezzo della trasformazione logaritmica: ln L_vi = ln A_v − ln D_i (0.4)

Posto: ln L_vi = λ_vi, ln A_v = β_v e ln D_i = δ_i, l’equazione (0.4) diventa:

λ_vi = β_v − δ_i

dove: β_v rappresenta l’abilità del soggetto v e δ_i rappresenta la difficoltà dell’item i.

Anche per il modello di Rasch è possibile dimostrare l’invarianza di confronto tra le abilità di due soggetti β_v e β_z data la difficoltà δ_i di un item:

λ_vi − λ_zi = (β_v − δ_i) − (β_z − δ_i) = β_v − β_z

La differenza tra le abilità di due soggetti non cambia qualunque sia la difficoltà dell’item che devono risolvere. Analogamente, si può dimostrare per il confronto tra la difficoltà di due item δ_i e δ_j, dato un soggetto con abilità β_v:

λ_vi − λ_vj = (β_v − δ_i) − (β_v − δ_j) = δ_j − δ_i

La differenza tra i livelli di difficoltà di due item non cambia qualunque sia l’abilità del soggetto che deve risolvere gli item. Mettendo in relazione abilità e difficoltà per mezzo del modello descritto, Rasch dimostrò come sia possibile costruire una variabile quantitativa di rilevanza psicologica.

Le intuizioni di Rasch

Una misura deve conservare il suo status quantitativo a prescindere dal contesto in cui è applicata. Ciò implica che:

• Il livello di abilità di un soggetto non deve dipendere dai particolari item che gli vengono presentati
• Il livello di difficoltà di un item non deve dipendere dai particolari soggetti che rispondono ad esso

Nella pratica, i risultati dell’interazione fra persone e item non possono mai essere completamente predeterminati ma includono sempre elementi di incertezza. In questo modo si realizza il passaggio da un approccio deterministico ad uno probabilistico. Più una persona è abile maggiore deve essere la sua probabilità di rispondere correttamente a qualsiasi item. Più un item è difficile minore deve essere la sua probabilità di ricevere una risposta corretta da ogni persona di qualsiasi abilità.

La famiglia dei modelli di Rasch

Il modello di base è il Simple Logistic Model (SLM; Rasch, 1960/1980) che si usa con item dicotomici. A partire dal SLM sono stati sviluppati altri modelli tra i quali:

• Binomial Model (Rasch, 1972; Andrich, 1978a) - Utile quando gli item vengono presentati più di una volta.
• Polytomous Rasch Model (Andrich, 1978b; 1982)/Partial Credit Model (Masters, 1982) - Modelli per item politomici.
• Many Facet Rasch Measurement Model (Linacre, 1989) - Oltre all’abilità della persona e alla difficoltà dell’item, considera altri fattori che determinano la probabilità di osservare una certa risposta.
• Extended Logistic Model for the Assessment of Change (Cristante & Robusto, 2007) - Consente di valutare il cambiamento.

Ambiti di applicazione dei modelli di Rasch

Il SLM e le sue derivazioni trovano applicazione in contesti quali:

• Il testing in psicologia
• La psicologia clinica
• La psicologia cognitiva
• La psicologia delle attitudini
• La psicologia degli atteggiamenti
• La psicologia della personalità
• La psicologia delle emozioni

Più in generale, il SLM e le sue derivazioni trovano applicazione in qualunque contesto dove ci sia:

• Una matrice soggetti × variabili contenente le risposte dei soggetti alle variabili (ad es., agli item)
• Una dimensione relativamente alla quale vengono valutate le caratteristiche di soggetti e variabili
• Livelli di intensità crescente secondo i quali soggetti e variabili si rapportano alla dimensione
• Uno strumento di valutazione caratteristico della dimensione (un test, un questionario, ecc.)

Il Computerized Adaptive Testing

Una delle applicazioni del SLM e delle sue derivazioni è il computerized adaptive testing (CAT). Il CAT consente di adattare i test in base alla competenza dimostrata dal soggetto, permettendo una valutazione più precisa ed efficiente.