Identificazione e composizione di trasformazioni

Complementi di matematica

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• Studio di trasformazioni
• Composizione di trasformazioni

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Problema

Studia le trasformazioni

t₁: x' = ¹/₂ x + ¹/₂

y' = ¹/₂ y - 1

t₂: x' = -y + 2

y' = -x + 2

t₃: x' = ³/₅ x - ⁴/₅ y

y' = -⁴/₅ x - ³/₅ y

e determina le equazioni di t₁・t₂ e di t₂・t₃. Che trasformazioni ottieni?

Studio della trasformazione t₁

La trasformazione t₁ è un'omotetia di centro qualunque, con rapporto di omotetia k = ¹/₂ e con p = ¹/₂ e q = -1.

Determiniamo il centro dell’omotetia:

x_C = ^p/_{1 - k} = ¹/_{1 - ¹/2} = ¹/_¹/2 = 2

x_C = 1

y_C = ^q/_{1 - k} = -¹/_{1 - ¹/2} = -2

y_C = -2

La trasformazione t₁ è un'omotetia di rapporto k = ¹/₂ e centro C(1; -2).

Studio della trasformazione t₂

La trasformazione t₂ è una simmetria assiale rispetto alla retta di y = mx + q, con:

^{1 - m2}/_{1 + m²} = 0

m = ±1

2q = 2(1 + m²)

2m = 1 - m² →

-2mq = 2(1 + m²) → q

perché il secondo sistema è impossibile.

L’asse della trasformazione ha equazione y = -x + 2

Studio della trasformazione t₃

Anche la trasformazione t₃ è una simmetria assiale rispetto alla retta di y = mx + q, troviamo i parametri m, q:

L’asse della trasformazione ha equazione y = -^x/₂.

Trasformazione composta t₁ • t₂

Determiniamo le equazioni della trasformazione composta t₁ • t₂.

La composizione di un’isometria, in questo caso una simmetria assiale, e di un’omotetia è una similitudine.

t₁ • t₂ è una similitudine indiretta con a = 0, b = -¹/₂ e con rapporto di similitudine k = √(0² + (-¹/₂)²) = ¹/₂.

Trasformazione composta t₂ • t₃

Determiniamo le equazioni della trasformazione composta t₂ • t₃.