Homework 02 - Meccanica Computazionale

Capitolo 1: Homework 02

Introduzione

De Mori Gabriele (mat:1233954)

Esercizio 1

Nel caso di continuo tridimensionale, come è possibile passare dalla formulazione forte del problema (problema differenziale) ad una formulazione debole (problema integrale) nell’ambito di problemi meccanici lineari in piccole deformazioni?

In un continuo tridimensionale, la formulazione forte del problema meccanico è data dall’insieme delle forze, tensioni e vincoli ad esso applicato che ne condizionano l’equilibrio:

• ∇σ + F_in = 0 in Ω
• σ · n = f_in su Γ_f
• u = u_in su Γ_u

Per risolvere il problema differenziale si possono usare due metodi: principi variazionali e metodi residuali. Questi ultimi risultano maggiormente adattabili ai vari problemi, in quanto dei primi non è detto che esista una soluzione.

Passaggio alla formulazione debole

Essendo il problema differenziale difficile da risolvere, si preferisce passare ad un problema integrale (formulazione debole) più facilmente risolvibile. Per fare questo si adotta un’approssimazione (suddivisione del dominio in sottodomini):

\[\int_{\Omega} X \, d\Omega = \sum_{i=1}^{m} \Delta\Omega_i\]

Con numero di sottodomini finiti. I metodi residuali prevedono di ricondursi ad una formulazione debole tramite approssimazione della soluzione, ottenuta per interpolazione di quella esatta su determinati punti (o nodi) imposti, che formano i sottodomini.

\[w \cdot a =\]

Per fare ciò, bisogna trovare delle funzioni che moltiplicate per la soluzione nodale mi forniscano un'approssimazione della soluzione nel continuo; queste funzioni vengono dette "funzioni peso". Imponendo \( w = \) non si fa altro che applicare il metodo di Galerkin. Le funzioni di forma devono essere continue ed avere derivate continue fino al grado imposto dal problema in determinati punti. In ogni caso bisogna garantire che l’integrale sia finito.

Considerazioni meccaniche

Nel caso meccanico, considerando la seconda equazione di equilibrio:

• \(\int_{\Gamma_f} w \cdot f \, d\Gamma - \int_{\Gamma_f} \sigma \cdot n \, d\Gamma = \int_{\Omega} \nabla g(x) \cdot d\Omega = \int_{\Gamma} g(x) \cdot n \, d\Gamma\)

Per il teorema della divergenza, ottengo la seguente semplificazione:

• \(\int_{\Gamma_f} (w \cdot f \cdot d\Gamma) = \int_{\Omega_f} (w \cdot \sigma) \, d\Omega\)

Sviluppando matematicamente ottengo:

• \(\frac{\partial w}{\partial x} \int_{\Gamma} T \cdot \nabla \sigma \cdot w \, d\Gamma = \int_{\Omega} w \cdot f \, d\Gamma - \int_{\Omega} F \cdot d\Omega\)

Sostituendo poi la prima relazione di equilibrio:

• \(\int_{\Omega} \sigma \, d\Omega = \int_{\Gamma} w \cdot f \, d\Gamma + \int_{\Omega} w \cdot F \, d\Omega\)