Geometria e Algebra Lineare - Esercizi Risolti

GEOMETRIA

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COLOREASSORTITO

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METODO DI ELIMINAZIONE DI GAUSS

"MOSSE DI GAUSS"

A = ^{100 101 102} _{25 25 25 150 151 152}

A'' = ^{100 101 102} _{25 25 25 50 50 50}

det(A'') = det(A) = 0

3 MOSSE

1. Scambiare 2 righe/col (det cambia segno)
2. Moltiplica una riga/col x scalare ≠ 0
3. Sommare sovra una riga un mult = di un'altra moltiplicato (det non cambia)

2 PROPRIETÀ

1. Se riduciamo la matrice quadrata A, ad una matrice a colonna A' mediante 1 mossa (o il caso 0) allora det A' = 0. Se det A = 0, in particolare A è invertibile A' non diventa invertibile
2. Se riduciamo la matrice A ad una matrice a colonna A' mediante le mosse 2) e 3) di Gauss allora indicato con S il numero di scambi mediante det det(A') = (-1)^S * det(A)

A =

³ 2 -1 4 0 2 -1 2 2 4 0 1 0 2 0 -2

A¹ = ³ 2 -1 4 0 2 -1 2 2 4 0 1 0 0 0 -3

det(A¹) = 2.1.(-3) = -6

massimo cambio di righe -> s = 0 det(A) = (-1)⁵ . det (A¹) = -6

A =

³ 2 -1 4 2 4 1 0 1 -1 0 2 0 1 0 1

A₂ = A₂ - 2A₁ A² = ³ 2 -1 4 0 1 1 . 3 1 -1 0 2 0 1 0 1

A₃ = A₃ - A₁ A³ = ³ 2 -1 4 0 1 1 . 3 0 -3 1 -2 0 1 0 1

A₄ = A₄ - A₁ A⁴ = ³ 2 -1 4 0 1 1 . 3 0 -3 1 -2 0 1 0 1

A⁵ = ³ 2 0 0 1 1 A₃ + A₁ = A₂ 0 -3 1 -2 0 1 0 1

det(A) = 1 . 1. 1 . 3 = 3

s = 1 cambio di righe/dominio

det(A) = (-1)⁵ . 3 = -3

CALCOLO DEL RANGO CON _RAUP

Il rango di una matrice a scalini è sempre pari al numero dei miei PIVOT.

A = ³ -1 0 -2 -4 2 1 0 1 2 0 0 3 3 0 0 0 0 -3 -2

PIVOT = 3

rg(A) = 3 rg(A) = 3

A = ³ 2 -1 4 1 0 1 0 0 -1 1 -1 0

A₂ = A₂ - A₁ A₃ = A₃ - A₁ A' = ³ 0 -2 3 -1 2 0 4 0 4 1 0 0 -1

A₃ = A A₃ + 2 * A₂

A₄ = A₅ - A₅ A' = ³ 1 0 -1 0 1 0 -1 3 0 0 -3 0

A' = ³ 1 0 -1 0 1 0 -1 3 0 0 -3 0

#PIVOT = 2 rg(A') = rg(A) = 2

RANGO MATRICE | 2 METODI | SCALINI | ORLATI

SCALINI

A = (2 3 0 14 4 4 0-2 0 0 -1)

A = (2 3 0 10 -1 -20 -2 0 0 -1)

SCALINI

A = (2 3 0 14 4 4 0-2 0 0 -1)

-> A = (2 3 0 10 -2 -2 -20 -2 0 -1)

A3 = A3-2A2

-> A = (2 3 0 10 -2 -2 -20 0 3 0)

rg(A) =

ORLATI

A = (2 3 04 4 4-2 0 0)

2x3 -> ->Aminore 3x3rg(A) ≥ 3

2 -1 = 0 -> ricominciarg(A) = 2

SCALINI

A = (1 -3 1 02 2 4 03 1 2 44 3 2 1)

A2 = A2 - 2A1

-> A = (1 -3 1 02 2 4 03 1 2 40 0 3 0)

A4 = A4 - A2

-> A = (1 -3 1 02 2 4 00 0 3 0)

rg(A) = 4

ORLATI

(-1) (x) (3) x (x) = 0

1 1 x 1 | 0 -> rg(A) = 3

1 1 0 1

A =

ORLIANO

1 2 3 | 4

4 1 1 | 2

0 2 4 | 0

p(x) = det()

(-) (1-x) (3) -4

1 2 3 4

-x -1 2

-3 -3

pivottiv(x) (-1) (4) (5) (3)

A = (-3 0 -1 22 4 2 24 4 5 4

rg(^T) = 3

A1 | x | rg(A) = 3

rg(det)eg(Ax) = 3

ORLATI

A = (-3) rg(A) = 2

1 1 1 (x) (x) | 0 -> rg(A) = 4

| 0

A1 = | 3 3 0 2 2 3 3

CRITERIO

| A1 = A1 = | (2) -> 2

x (..)3 (3) -> (A2)

gC(-x)

OPERATORI

0

(8x14)

A = ⁰

SCALINI

⇒

1-( -1)' A = 0

⇒

₁

⇒

₀

SISTEMI

I CASO

• ⇒ 0 ⇒ NORMALI , MA UNA SOLUZIONE

II CASO