Geometria e Algebra Lineare - Esercizi Risolti

Geometria esercizi colore assortito

Metodo di eliminazione di Caub

"Mosse di Caub"

A = (100 101 102125 126 127150 151 152)

A2 -> A2 - A1

A' = (100 101 10225 25 25150 151 152)

A3 -> A3 - A1

A'' = (100 101 10225 25 2550 50 50)

det(A') = det(A'')

A3 -> A3 - 2A2

A''' = (100 101 10225 25 250 0 0)

det(A''') = det(A) = 0

A = (0 1 2 -11 -2 1 31 4 1 22 2 2 5)

A2 -> 3A1

A' = (1 -2 1 30 1 2 -11 4 1 22 2 2 5)

det(A) = -det(A')

A3 -> A3 - A1

A4 -> A4 - A1

A'' = (1 -2 1 30 1 2 -10 6 0 -10 6 0 -1)

det(A'') = det(A) = -det(A')

A3 = A4

det(A) = 0

3 mosse

• Scambiare 2 righe/(det cambia segno)
• Moltiplicare una riga per un numero != 0(det moltiplicato per lo stesso numero)
• Sommare una riga ad un'altra riga moltiplicata da un numero(det non cambia)

2 proprietà

• Se riduciamo la matrice quadrata A ad una matrice a scalini à mediante i camm. allora det(A)=0 se e solo se det(Ã)=0. In particolare A è invertibile <=> à è anch'essa invertibile.
• Se riduciamo la matrice A in una matrice a scalini à utilizzando le mosse 1 e 3 dei camm. allora indicando con s il numero di scambi, risulta che: det(A)=(-1)^s det(Ã).

|A| = (-1)^s 1/k |Ã|

Scambi riga/col

Prodotto delle costanti moltiplicate per colonne/righe

Matrice ridotta

A = ( 2 -1 4 )        ( 0 1 1 )        ( 2 1 3 )

A' = ( 2 -1 4 )          ( 0 1 1 )          ( 0 2 -1 )

A'' = ( 2 -1 4 )          ( 0 1 1 )          ( 0 0 -3 )

det(A'') = 2 . 1 . (-3) = -6

Nessuno scambio di righe → S = 0

det(A) = (-1)^S . det(A'') = -6

A = ( 0 1 1 1 )        ( 1 1 1 0 )        ( 1 0 1 1 )        ( 1 1 0 1 )

A₁ ↔ A₂

A' = ( 1 1 1 0 )          ( 0 1 1 1 )          ( 1 0 1 1 )          ( 1 1 0 1 )

A₃ = A₃ - A₁

A'' = ( 1 1 1 0 )          ( 0 1 1 1 )          ( 0 -1 0 1 )          ( 1 1 0 1 )

A₄ = A₄ - A₁

A''' = ( 1 1 1 0 )          ( 0 1 1 1 )          ( 0 -1 0 1 )          ( 0 0 -1 1 )

A₃ = A₃ + A₂

A₄ = A₄ - A₂

Ā = ( 1 1 1 0 )          ( 0 1 1 1 )          ( 0 0 1 2 )          ( 0 0 -1 1 )

A₃ = A₃ + A₄

Ā = ( 1 1 1 0 )          ( 0 1 1 1 )          ( 0 0 1 2 )          ( 0 0 0 3 )

det(Ā) = 1 . 1 . 1 . 3 = 3

S = 1 scambio di righe/colonne.

det(A) = (-1)^S . 3 = -3

Calcolo del rango con Caup

Il rango di una matrice a scalini è sempre pari al numero dei suoi pivot.

Pivot =

A = ( -3 1 -2 0 -4 )        ( 0 0 5 1 3 )        ( 0 0 0 0 -7 )        ( 0 0 0 0 0 )        ( 0 0 0 0 0 )

Pivot = 3 → rg(A) = 3

→ rg(A) ≤ 3

Matrice a scalini

• Le righe nulle, tutte le altre righe sotto esse sono anche nulle;
• Sotto il primo elemento non nullo di ogni riga e sotto tutti gli elementi nulli che lo precedono sono presenti altrettanti elementi nulli.

In una matrice di questo tipo il primo elemento diverso da 0 di ogni riga si chiama pivot della data riga; il numero di pivot eguaglia sempre il numero di righe non nulle.

A = ( 1 0 1 2 )        ( 1 3 0 0 ) &