G prodotto scalare

G prodotto scalare, base prodotto scalare. Distanza minima rette g prodotto scalare, base prodotto scalare. Distanza minima rette

Dato il sottospazio V = { (x₁, x₂, x₃) ∈ ℝ³ | 2x₁ - x₂ - x₃ = 0 } e la forma bilineare g su ℝ³ così definita:

g(x, y) = 2x₁y₁ + x₂y₂ + x₃y₃

1. Verificare che g è un prodotto scalare su ℝ³.
2. Determinare V^⊥ rispetto al prodotto scalare g.

Verifica del prodotto scalare

Consideriamo la matrice G associata al prodotto scalare:

G = (200)010001

Essendo G una matrice simmetrica, la forma bilineare g è anch'essa simmetrica. Per verificare che g sia un prodotto scalare dobbiamo provare che G è definita positiva. Determiniamo allora gli autovalori della matrice G.

Poiché G è una matrice diagonale, gli autovalori sono λ₁ = 2 con molteplicità algebrica 1 e λ₂ = 1 con molteplicità algebrica 2. Poiché tutti gli autovalori sono strettamente positivi possiamo concludere che g è un prodotto scalare.

Base di V

Determiniamo una base di V:

x (x₁, x₂, x₃) ∈ V ⇔ 2x₁ - x₂ - x₃ = 0 ⇔ x₂ = 2x₁ - x₃ = x₂(x₂, x₂, -x₃) = x₂(1, 1, -1)

Detto v₁ = (1, 1, 1) si ha che {v₁} è una base di V. Ora:

Complemento ortogonale V^⊥

V^⊥ = { x ∈ ℝ³ | g(x, v₁) = 0 } 2x₁ + x₂ + x₃ = 0

Da cui segue:

x (x₁, x₂, x₃) ∈ V^⊥ ⇔ 2x₁ + x₂ + x₃ = 0 ⇔ x = x₁(1, -2, 0) + x₃(0, -1, 1)

Detti v₂ = (1, -2, 0) e v₃ = (0, -1, 1) si ha che {v₂, v₃} è una base di V^⊥.