Forma bilineare: prodotto scalare, angolo tra vettori; retta perpendicolare al piano e passante per il punto
Forma bilineare: prodotto scalare, angolo tra vettori; retta perpendicolare al piano e passante per il punto.
Si consideri la forma bilineare g : R3 × R3 → R definita da g((x, y, z), (x', y', z')) = 4xx' + 2yy' - 3yz' - 3zy' + 9zz'
- Provare che g è un prodotto scalare;
- Determinare l'angolo tra i vettori v⃗ (1,1,0) e w⃗ (0,0,1).
Prodotto scalare
a) Consideriamo la matrice G associata alla forma g
G = ❼ 4 0 0 0 2 -3 0 -3 9 ❽
Poiché G è una matrice simmetrica, la forma g è simmetrica. Per verificare che sia definita positiva, determiniamo gli autovalori di G:
det(G - λI) = ❘ 4-λ 0 0 0 2-λ -3 0 -3 9-λ ❘ = (4 - λ)(λ2 - 11λ + 9)(4 - λ)(λ2 - 11λ + 9) = 0 ↔ λ ∈ {4, 11 ± √85/2}
Poiché tutti gli autovalori di G sono strettamente positivi, la forma g è definita positiva.
g essendo una forma bilineare, simmetrica e definita positiva è un prodotto scalare.
Angolo tra i vettori
b) Per determinare l'angolo tra i vettori v⃗ (1,1,0) e w⃗ (0,0,1) consideriamo
g(v⃗, w⃗) = -3 ||v⃗||g = √6 ||w⃗||g = √9 = 3
da cui cos ∠ v⃗ w⃗ = g(v⃗, w⃗)/||v⃗||g ||w⃗||g = -3/3√3 = -1/√3
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![Forma del prodotto]()
Forma del prodotto
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![Prodotto scalare e vettoriale tra vettori]()
Prodotto scalare e vettoriale tra vettori
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![Prodotti tra vettori vettoriale scalare e misto, Analisi matematica II]()
Prodotti tra vettori vettoriale scalare e misto, Analisi matematica II
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Vettori
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