Fisica, la relatività dello spazio e del tempo, problemi svolti

Aprile 2022 fisica

La relatività del tempo e dello spazio

Problemi svolti

• Invarianza della velocità della luce
• La simultaneità
• La dilatazione dei tempi
• La contrazione delle lunghezze
• Le trasformazioni di Lorentz

Problema 24

Un’astronave lunga 1,2 km emette, in coda e in testa due segnali luminosi simultanei secondo un osservatore dell’astronave separati da 1,0 ns. A terra. Secondo lo stesso osservatore, i segnali raggiungono il centro.

• Calcola la velocità dell’astronave. ⋅ [, ]

Svolgimento

Fissiamo un riferimento come in figura. La coda dell’astronave è nell’origine e la testa a distanza L=1,2 km.

(Scriviamo le equazioni del moto dell’astronave ) e dei due raggi di luce: : = 1 1 : = − 2 2 = + 2

Secondo un osservatore a terra i segnali luminosi sono simultanei per cui possiamo scrivere:

(1) (2) = = 1 2 Indichiamo con e i tempi di arrivo dei due segnali:1 2, raggiunge il centro nell’istante Il segnale luminoso :1 1 (1) ( = + → − ) = → =1 1 1 12 2 2( − ), raggiunge il centro nell’istante Il segnale luminoso 2 2 (2) ( − = + → + ) = − → =2 2 2 22 2 2( + )

L’intervallo temporale che separa i due eventi è: Δ = − = −1 2 2( − ) 2( + ) + − + 2Δ = = ⋅2 2 2 2( )2 − 2 − Δ = 2 2 − Da questa equazione ricaviamo la velocità v:2 2 )Δ( − = 2 2v ⋅ Δ + − Δ ⋅ = 0

Risolviamo l’equazione di secondo grado:2 2√L− ± − 4(c ⋅ Δt)= 2Δ8 −9(3c ⋅ Δt = ⋅ 10 m/s)(1 ⋅ 10 s) = 0,30 m > 0:

Escludiamo la soluzione negativa, essendo 3 3 2 2√(1,2−(1,2 ⋅ 10 ) + ⋅ 10 m) + 4 ⋅ 0,09m= −92(10 s)

La velocità dell’astronave è: −41,5 ⋅ 10 4= = 7,5 ⋅ 10−92(10 s) 3

Problema 35

Si vuole dilatare un intervallo temporale del 15 %

• Determina qual è la velocità necessaria per ottenere questo effetto. [, ]

Svolgimento

Δ è il tempo proprio: 15→1 + = 1,15

Dilatazione del 15% 100 ′Δ = Δ = 1,15Δ = 1,1511,15 = 2− β√1con = → = Determiniamo il valore di :12√1 − β = 1,15 2121 − β = ( )1,15 2 21 1√2β =1−( ) → = 1−( ) = 0,4941,15 1,15 = 0,49 38 = 0,22

Problema 38

Un osservatore A vede in movimento a velocità costante un secondo osservatore B. Per l’osservatore A, l’orologio di B segna che sono trascorsi 46 s.

• Quanto tempo è trascorso secondo l’orologio di A? [ ]

Svolgimento

L’osservatore B è in S’ che si muove a velocità costante. L’osservatore A è in S., sia l’orologio di A che quello di B segnano = 0.

Quando B è in posizione 1 Δ = 46

Tempo proprio, quello di B: 1′Δ = Δ = Δt

Tempo dilatato 2√1−β 1 1 1γ= = =2 22 √1(v − 0,22(0,22c√1 √1− ) − )c c1′Δ = ⋅ 46s = 47,1553 ….

2√1 − 0,22′Δ = 47

Problema 44

Un’asta di lunghezza a riposo si muove a velocità relativistica v0 costante e forma un angolo di 45° con la direzione del moto, quando osservata nel sistema di riferimento S, come mostrato in figura. Un osservatore, fermo in S, misura la lunghezza dell’asta. Ottiene ?0

Svolgimento

Nella direzione del moto la componente si contrae, mentre resta costante. La lunghezza dell’asta, quindi, risulta minore di .0

Problema 53

Durante una missione spaziale, dall’oblò di una navicella in movimento si vede passare un asteroide, di 5 = 3,0 ⋅ 10 /. lunghezza a riposo pari a 50 m, con velocità relativa alla navicella

• Quanto è lungo l’asteroide nel sistema di riferimento della navicella?
• Quanto risulterebbe lungo l’asteroide se la velocità della navicella fosse 0,999 c? [50 m; 2,2 m]

Svolgimento

Nel riferimento della navicella