Esercizi svolti ar ma arch garch

Interprete

1° Turno 19-05-15

Esercizio 1.

1. Identificare yt all'interno della classe dei modelli ARMA

   1. yt = Et + QEt-1   |Q| < 1 → MA(1)

   2. yt = Et + Q1Et-1 + Q2Et-2 → MA(2)

   3. yt = a yt-1 + Et → AR(1)

   4. yt = a yt-1 + Et + QEt-1 → ARMA (1,1)

2. Calcolare E(yt)

   1. yt = Et + QEt-1

      E(yt) = E(Et + QEt-1)

      = E(Et) + QE(Et-1)

      E(yt) = 0

   2. yt = Et + Q1Et-1 + Q2Et-2

      E(yt) = E(Et + Q1Et-1 + Q2Et-2)

      E(yt) = E(Et) + Q1E(Et-1) + Q2E(Et-2)

      E(yt) = 0

   3. yt = a yt-1 + Et

      E(yt) = E(a yt-1 + Et)

      E(yt) = a E(yt-1) + E(Et)

      E(yt) = a E(yt-1)

|a| < 1 → stazionario in covarianza

L = LM L = L ma |a| < 1

L = E(yt) = 0

Farhjae

1° TUTORATO 19-05-15

Esercizio 1

1. Identificare y_t all'interno della classe dei modelli ARMA
• y_t = ε_t + θε_t-1 |θ|<1 → MA(1)
• y_t = ε_t + θε_t-1 + θ₂ ε_t-2 → MA(2)
• y_t = ϕ y_t-1 + ε_t → AR (1)
• y_t = ϕ y_t-1 + ε_t + θε_t-1 → ARMA (1,1)

Calcolare ℰ (y_t)

2. y_t = ε_t + θε_t-1

ℰ(y_t) = ℰ (ε_t + θε_t-1)= ℰ(ε_t) + θℰ(ε_t-1)ℰ(y_t) = 0

3. y_t = ε_t + θε_t-1 + θ₂ ε_t-2

ℰ(y_t) = ℰ(ε_t + θε_t-1 + θ₂ ε_t-2)= ℰ(ε_t) + θℰ(ε_t-1) + θ₂ ℰ(ε_t-2)ℰ(y_t) =0

4. y_t = ϕ y_t-1 + ε_t

ℰ(y_t) = ℰ(ϕ y_t-1 + ε_t)= ϕℰ(y_t-1) + ε(ε_t)ℰ(y_t) = ϕℰ(y_t-1)

|ϕ|<1 → stazionario in covarianza

ℰ(y_t) = ℰ(y_t-1) = μ

μ = ϕμμ = 1 ma |ϕ|<1 comunque non è verificatoμ = ℰ(y_t) = 0

y_t = x_t + _t + Θ _t-1

E(_t) = E(x_t + _t + Θ_t-1)

E(y_t) = μ = d(x_t + _t) + E(_t) + ΘE(_t-1)

E( _t) = d (y_t+1)

Si intenda che:

E(y_t) = E(y_t-1) = μ ne consegue:

μ = dμ d=1 ma |d| < 1

μ=0

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Confermare E(_tt)

E (_tt) = E ([_t + Θ_t-1] _t)

= E (_t² + Θ _tt-1)

= E(_t²) + Θ E(_tt-1)

NB: La prima componente è la varianza τ²

Var (_t) = τ² = E (_t²) - E (_t)²

τ² = E (_t²)

La seconda componente è la covarianza

Cov (_t, _t-1) = E(_tt-1) - E(_t)E(_t-1)

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E(y_{t t}) = E (_t²) = τ²

ε(y_t, ε_t) = γ² + 0 + 0 = γ²

(y_t, ε_t) = ℰ[(λy_t−1 + ε_t) ε_t]

= λℰ(y_t−1・ε_t) + ℰ(ε_t²)_r²

con tra gli shock del tempo t-1 e gli shock del tempo t

ℰ(y_t, ε_t) = γ²

ℰ(y_tε_t) = ℰ[( λy_t−1 + ε_t + Θε_t−1) ε_t]

= λℰ(y_t−1・ε_t)₀ + ℰ(ε_t²)_r² + Θℰ(ε_t−1・ε_t)₀

ℰ(y_tε_t) = γ²