Esercizi risolti esame controlli automatici

Name: Esercizi risolti esame controlli automatici
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Author: zyzzthekingo

Revisionato il 08/07/2026

di zyzzthekingo

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esercizi risolti (e corretti) d'esame di controlli automatici col prof Carlo Rossi, comprendente esercizi su:-stabilità (13 esercizi);-risposte (16 esercizi);- reti correttrici (8 …

Esame Controlli automatici

Facoltà Ingegneria

Dal corso del Prof. Rossi Carlo

Università Università degli Studi di Bologna

A.A. 2021-2022

52 pagine

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Esercitazione

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Estratto del documento

Stabilità del sistema retroazionato

Equazione caratteristica

Stabilità: Dator(s) = ^1+k/_1+sG(s) = ^{10k (s+1)}/_{s(s+1)(s+3)²} con k₁, k₂ > 0. Per quali k il sistema retroazionato è stabile?

Equazione caratteristica: 1 + ^{10k (s+1)}/_{s(s+1)(s+3)²} = 0 → s(s+1)(s+3)² + 10k (s+1) ⇒ uso Routh

DATO:

̇(t) = -p(t) n(t) + u(t) ṅ(t) = p(t) - n(t) - z(t) verde: = INGRESSI rosso: = USCITE

Calcolo dei punti di equilibrio

a) Calcolo punti equilibrio con n_e ≥ 0 a fronte di ingressi costanti u(t) = 3 e τ(t) = 2

f - p_e n_e + u_e = 0 p_e - n_e - 2 = 0

{p_en_e = 3, p_e - n_e = 0} → {p_en_e = 3, p_e = n_e + 2} → {n²_e + n_e - 3 = 0}

n_e = ^{-2 ± √10}/₂ - 3 NON ACCETTABILE (n_e ≥ 0) o.k.! p_e = n_e + 2 = 3

Calcolo delle funzioni di trasferimento

b) Calcolo FdT tra p(t) e p(t) del sistema linearizzato nei punti di equilibrio trovati

δp(t) = -n_eδp(t) - p_eδn(t) + 2δu(t)

δn(t) = δp(t) - δn(t) - δz(t)

Trasformate secondo Laplace:

P(s) = ^{-1(-p_e)N(s) + U(s)}/_{s+n_e} = ^{-3U(s) + U(s)}/_s+1

N(s) = ¹/_s+1, P(s) = R(s)▢^δu{^3-1/_(s+1)²

c) Calcolo FdT tra u(t) e n(t) Gr^p(s) = ^-3/_((s+1)²) o 3 (S+1)¹/(S²)

G_i_n = ¹/_(s+1)²

Stabilità dati

R(s) = (1+4*s) / (1+6*s) G(s) = (10k (s+1)) / (s (s+7) (s+3)^2)

con t₁+t₂=0 per quali k il sistema retroazionato è stabile?

Equazione caratteristica: (1 + (10k (s+1)) / (s (s+7) (s+3)^2)) = 0 => s (s+7) (s+3)^2 + 10k (s+1) => Uso Routh

DATO:

ṗ(t) = -p(t)n(t) + u(t) ṅ(t) = p(t) - n(t) - z(t)

Calcolo dei punti di equilibrio

a) Calcolo punti equilibrio con n_e ≥ 0 a fronte di ingressi costanti Ȗ(t) = 3 e Ẑ(t) = 0:

f = -p_en_e + Ȗ_e = 0

p_e - n_e - Ẑ_e = 0

n_e = -2 ± √(4 + 10) / 2 OK! Pe = ne + Ȗ = 3

Calcolo delle funzioni di trasferimento

b) Calcolo Fdt tra δȖ(t) e δp(t) del sistema linearizzato nei punti di equilibrio trovati:

δṗ(t) = -n_eδp(t) - p_eδn(t) + 2δu(t)

δṅ(t) = δp(t) - δn(t) - δz(t)

Trasformate secondo Laplace:

P(s) = (1/(-p_e)N(s) + U(s)) / (s+n_e) = (-3U(s) + U(s)) / (s+1)

N(s) = 1/(s+1), P(s) - R(s)

c) Calcolo Fdt tra Ȗ(t) e n(t) G_lp(s) = (-3) / ((s+1)^2) = (-3) / ((s+2)^2)

G_ûn(s) = (-1) / (s(s+2))

Punto di equilibrio stabile?

Conclusione: Sì, e 2 Fdt hanno stessa poli, doppio polo reale negativi. Il sistema linearizzato è stabile, da qui si può concludere la stabilità del punto di equilibrio del sistema non lineare di partenza.

Sistema in retroazione derivato

5) Si consideri il sistema in retroazione derivato dall'equazione: \(\ddot{y}(t)=-y^2(t)+y(t)+u(t)\)

a) Calcolare punti di equilibrio con riferimento \(r_s(t)=r_{e_s}\) costante e verificare che per \(r_e

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