Esercizi Idraulica 3 Galleggiamento Equilibrio in moto

Galleggiamento

Consideriamo un corpo galleggiante. Per traslazioni orizzontali e rotazioni intorno ad un asse verticale, l'equilibrio è indifferente.

• Volume di carena
• Asse di simmetria del corpo galleggiante
• Piano di galleggiamento

S_v = V_c

H_C = I_o/V_c dove M è il metacentro

G_C = e

M_G = d_m

d_m = I_o/V_c e > 0 perché sia soddisfatta la condizione di equilibrio

N.B. Affinché vi sia equilibrio il centro di spinta C deve stare più in basso del baricentro G.

Esercizio 1

Consideriamo un fluido di peso specifico ed un corpo cilindrico galleggiante in questo di peso specifico. Per il galleggiamento deve c <.

Galleggiamento

Consideriamo un corpo galleggiante. Per traslazioni orizzontali e rotazioni intorno ad un asse verticale, l’equilibrio è indifferente.

• Volume di carena
• Asse di simmetria del corpo galleggiante
• Piano di galleggiamento

S_v = V_c

M_c = I₀/V_c dove M è il metacentro

G_C = l

MG = d_m

d_m = I₀/V_c >= 0 perché sia soddisfatta la condizione di equilibrio

N.B. Affinché vi sia equilibrio il centro di spinta C deve stare più in basso del baricentro G.

Esercizio 1

Consideriamo un fluido di peso specifico ed un corpo cilindrico galleggiante in questo di peso specifico. Per il galleggiamento deve valere: _c << Sia D il diametro del cilindro ed L la sua altezza; a seconda di quanto vale il rapporto D/L ci sono ben diverse disposizioni del cilindro:

_(D/L)=1 l'equilibrio del cilindro è indifferente

D << L _{La posizione di equilibrio disegno} se è instabile quelle laterali e la sottostante

Analogamente se D >> L l'equilibrio è stabile se poggiano come in figura

Quando deve valere _{il rapporto (D/L) perché} il cilindro sia verticale?

_P₃ = 8c (πD²L)= 8_π D² P_n

_P = 1 (18c/L)

L'eccentricità e è dato da:

¹¹

= 1_{- ¹ c}

_I = ₁

Momento di inerzia di un cilindro rispetto ad un asse baricentrico

_γc = _πD² _ρ

Dunque si ha che

d_m = I_o = π D⁴ / 64, V_c = π D² quindi 1 / 2 (s_c / s) - 1 / (s_c / s) = 0

=> D / L > 8 s_c / s (1 - s_c / s)

posto s_c / s = 0.8 si dice che

D / L > 0.36, per cui l'equilibrio è stabile, poiché nel caso di uno spostamento infinitesimo il cilindro ritorna nella posizione iniziale.

Altrimenti se (D/L) < 0.36, l'equilibrio è instabile.

Equilibrio relativo

L'equazione di equilibrio si dice che:

∇p = ∇r

dove f = -g s è un campo di forze conservativo, quindi si vede che dalle due gradienti:

∇(p / s + z) = 0 => p / s + z / s = cost

così la distribuzione delle pressioni è lineare con il fondamento.

Per esempio consideriamo un carrello che si muove con accelerazione lineare g_o, contenendo un fluido in quiete.

Supponiamo che il carrello ed il fluido si muovano in un campo conservativo quindi si può definire un potenziale fissato un asse orizzontale x in locale. U = ω² x

a = -∇U

Esempio della giostra

a = -(ω² r)_r ⇒⇒ U = ω² r² / 2

Il gradiente di potenziale ∇φ è dato da...

∇φ = ρ( - A) = forze di massa

A = forze inerziali:

_a = _R + ₀ + ω∧(P - O)

_I = Velocità di trascinamento

₀ = Velocità di O^' rispetto a OX₂(relativa)

_R = Velocità di P rispetto a OX₂

_a = Velocità (assoluta) di P rispetto aOX₂

_a = ₀ + Q_R +ω∧(P - O) + ω∧[ω∧(R - O)] + 2 ω∧ _R

dove ω = dω / dt

Consideriamo le equazioni di Eulero:

\[\frac{\partial v_{x}}{\partial t} + v_{x} \frac{\delta v_{x}}{\delta x} = -\frac{1}{\rho} \frac{\delta p}{\delta x}\]

ottenuta da ², ⁹, ⁵, ⁸, ¹⁰, ¹⁸. Supponiamo di avere un fluido che si muove secondo la legge di Eulero (equazione di Eulero).

Sia P una particella di tale fluido e colleghiamo rigidamente a P un altro sistema di riferimento x̄ȳ, si pone

\[a_{m_{0}} = const \]

\[v_{0_{m_{0}}} = a_{0} t \]

\[v_{x} = \tilde{v_{x}} + v_{o}(t)\]

x̄ = x - x_{o}(t)

dove \(\tilde{v_{x}}\) è la velocità del fluido in x̄ȳ Sostituiamo queste espressioni nell'equazione di Eulero:

\[\frac{\delta [\tilde{v_{x}} + v_{o}(t)]}{\delta t} + \frac{\delta [\tilde{v_{x}} + v_{o}(t)]}{\delta x} \frac{x̄}{dt} = -\frac{1}{\rho} \frac{\delta p}{\delta x}\]

Torniamo a considerare il gradiente di potenziale.

\[\nabla \phi = \rho (\frac{g_{o}}{\rho})\]

\[A = \nabla U\]

\[g_{o} = g×\] → Poiché siamo in un campo conservativo

\[\frac{g_{o}}{\rho}= - \nabla (g_{o}z)\]

\[\nabla p = \rho (- \nabla (g_{o}z) - \nabla U)\] →→ \[\nabla (\frac{r}{x} + \frac{z}{g} + \frac{y}{g}) = 0\] → \[\frac{r}{x} + \frac{z}{g} + \frac{y}{g} = const\]

quindi nel caso di accelerazione centrifuga. Tale: ^l⁄_s = ½ &plus; ½(ω²⁄_2g) - cosa

nel caso si abbia un’accelerazione lungo l’asse x tale: ^l⁄_s = ½ &plus; a_oX_G⁄_2g - cosa

Esercizio

Consideriamo un cilindro contenente un fluido fino all’orlo, le cui dimensioni del cilindro sono: diametro D = 1 m altezza h = 2 m

Il cilindro si muove rispetto ad un sistema di riferimento fisso con accelerazione a_o. Quanto deve valere tale affinché il volume V_o disegnato in figura sia (il 50% del volume totale del cilindro)? Prima del moto Durante il moto Il cilindro all’inizio è pieno ma essendo privo del liquido e si stabilisce un equilibrio dinamico. Si nota che il volume di fluido perso è il volume V cercato si vede che: a = -a_oî × U = a_o⁄_g × (potenziale di -g&zdot;)

quindi si vede che:

y_k + 2 ^{a_o x}/_g = cos

Notare che i piani isolari, in questo caso, non sono orizzontali, ma inclinati; la cui equazione è data da:

x = 2 ^a_o/x

Consideriamo il piano isolare in contatto con l’amo sfera, quindi per cui ρ = 0, si vede che:

z = ^{2 a_o x}/_g = ^a_o/g

z è considerato un punto sul piano isolare ed uno all’interno del fluido.

Due piani isolari: indichiamo il piano ρ per cui x = 0 =>=> z = ^{ρ a_o}/g

quindi ρ = ^a_o/g * D

da cui:

Y_k = [^{π D2}/4 * ^a_o/g * D] * 1/2 =>=> Y_k = 1/10 (π ^D2/4) => ^π/4 D² a_o D * 1/2 =>=> ^a_o/g * D/h/10 => a_o h/D 1/5 g => a_o 1/3 g.