Esercizi Idraulica 1-2 Pressione

Considerazioni sui fluidi in quiete

Considera un fluido in quiete per il quale vale:

• ρ = cost (densità costante)
• g = cost (peso specifico costante)
• z + _p / _γ = cost (carico piezometrico costante)

N.B. Il carico piezometrico ha le dimensioni di una lunghezza.

Se p = 0, ossia se la pressione è quella atmosferica, si ha che z = _Pa / _γ. Consideriamo un contenitore con diversi fluidi non miscibili. Ognuno di questi ha carichi piezometrici diversi.

Esercizio 1

Consideriamo un contenitore chiuso con tre diversi fluidi non miscibili (olio, acqua e mercurio): γ_o, γ_a, γ_m.

z_o = 7845 N/m³

z_a = 9800 N/m³

z_m = 133362 N/m³

d = 1 m, d₁ = 1 m, a = 1.2 m

Si considera un fluido in quiete per il quale vale:

• ρ = cost (densità costante)
• ẟ = cost (peso specifico costante)

\[\frac{p}{ẟ} \] + \[\frac{v^{2}}{2g} \] + \[\frac{z}{h} \] = cost (carico piezometrico costante).

NB. Se il carico piezometrico ha le dimensioni di una lunghezza, se ẟ = 0, ossia se la pressione è quella atmosferica è tale che z = \[\bar{z} \] ₀.

Consideriamo un contenitore con diversi fluidi non miscibili: ognuno di questi ha carichi piezometrici diversi.

∇x₁x₂x₃

Esercizio 1 Consideriamo un contenitore chiuso con tre diversi fluidi non miscibili: olio, acqua e mercurio, ẟ₀, ẟ_a, ẟ_m.

Chiusi

┌────────────────────────────┐

│ Aria compressa │

│ f c │

│ │

├───────────────────────┤

| B │

│ │

├─────────────────────────┤

│ A │

│ │

└───────────────────────┘

ẟ₀ = 7845 N/m³, ẟ_a = 9800 N/m³, ẟ_m = 133362 N/m³, d = 1 m, a = 1.2 m

Si vuole calcolare p_B. Consideriamo il fluido già su passo di presa specifica Σ_m, per il pelo libero a contatto con la pressione atmosferica si ha: a = z_m + p₀.

Adesso prendiamo in considerazione il punto A appartenente al fluido Σ_m e sulla superficie di contatto col fluido Σ_a, vogliamo calcolare γ_A = z vede lo Σ_a = d e poiché il carico piezometrico è costante

z_m + p₀ - a = z_m + γ_A ^AΣ_m => p_A = Σ_m (a - z_m).

Un ragionamento analogo si fa per il fluido Σ_a, si considera il punto B del fluido Σ_a, sulla superficie di contatto fra il fluido Σ_a e Σ₀, ne calcoliamo la pressione γB sapendo che

p_B = Σ _m ^AΣ_a (In questo caso ci conviene considerare A appartenente al fluido Σ_a).

Poiché il carico piezometrico è costante:

z_a + γ_A ^B / Σ_B = z_B ^B / Σ za = zd, = zdd + γ_A ^a / _a = zd + Σ_a ^aΣ₀ =γ_B

p_B (γ_A + Σ_a) (z_a = zd) = pa Σ_adH.B.

Si noti che p_A > p_B. Questo è ovvio perché la massa di fluido sovrastante A è maggiore della massa di fluido sovrastante B (dipende dal peso specifico).

Analogamente per il punto C: si considera B appartenente al fluido di peso specifico s₀ e si considerano costanti i carichi piezometrici:

_zB ^h_B = _zC ^h_C, _zB = 2d, _zC = 3dd

da cui si ottiene:

_pc = _z0 ^(h_B-d) => _pc = _pB - _z0 ^d = _pA.

Oss. _pA > _pB > _pC = _pA (dato ai pesi specifici).

In valori numerici riveniamo che:

• _pA = 133362 - 0.2 = 26672 Pa
• _pB = 26672 - 9806 = 16866 Pa
• _pC = 16866 - 7845 = 2021 Pa

Si nota che ogni fluido ha un diverso carico piezometrico. Vediamo come sono distribuiti le pressioni:

h0 - zB hB σ0 - 4.15 m

Se si vuole la stessa pressione in B l'operando (_e = 2_a)

Esercizio 2 (Superfici piane)

p.e.c.i. = Pressione Carica Idrostatica

F = _g AA = Area della superficie immersa

x_c = x_g + ^I_yg/_{A xg}

dove I_yg = Momento d'inerzia rispetto all'asse y passante per G, A x_g = Momento statico.

Consideriamo la parete laterale di un serbatoio, che contiene un fluido di peso specifico &= 2806 N m^-3, d = 1 m, b = 3 m, l = 2,5 m.

Sia (zeta) l'asse di immersione e si vuole trovare _c = ?

x_G = ?

_G = ?

A = G x L = 7,5 m²

_g = x _G F = x_G x A = 183.860 N

_c = _G + ^I_yg/_{A G} - 2,5 + 0,3 = 2,8 m

N.B. ^I_yg/_Ag = ¹/₁₂ b³

Esercizio 3

Consideriamo una paratoia come quella disegnata in figura 8. Si vuole calcolare la spinta idrostatica sulle due facce.

γ = 9806 N/m³

h₁ = 3 m

h₂ = 2,25 m

a = 8 m

h₂ = 1,5 m (profondità della sezione)

d = 1/16

a₁ = 6 m

A₁ = 6 cm² (superficie t. a₁)

ŷ_G1 = h₁/2 = 1,5 m

σ_G1 = γ ŷ_G1 = 14708 Pa

S₁ = σ_G1 A₁ = 88254 N

Cerchiamo adesso i centri di spinta C₁ e C₂:

x_C1 = x_G1 + I_yG1/(A₁ x_G1) = 2/3 a₁ = 4 m

a₂ = 4,5 m

A₂ = 4,5 cm² (superficie t. a₂)

ŷ_G2 = h₂/2 = 1,123 m

σ_G2 = γ ŷ_G2 = 11032 Pa

S₂ = σ_G2 A₂ = 49663 N

x_C2 = x_G2 + I_yG2/(A₂ x_G2) = 2/3 a₂ = 3 m

Per calcolare x_C1 ed x_C2 l'origine dell'asse x deve coincidere con quella della paratoia, ed è considerata nel punto O₃ ed O₂, rispettivamente.

La spinta totale è data da:

S_TOT = S₁ - S₂ = 38.61 N

Calcoliamo il momento di S₁ ed S₂ rispetto ad A:

M_A = S₁ G₁ - S₂ G₂ = 28.254 · 6 - 49.6 · 3.65 = 206.8 c.s N · m

L'₁ = ^C₁A/_A

L'₂ = ^C₂A/_A

Spinte su superfici curve

Si consideri una superficie qualunque S immersa in un fluido. La pressione che il fluido esercita su S è ortogonale a questa in ogni punto. Poiché la superficie non è piana, le pressioni P non sono tutte parallele. In conclusione, la pressione P è funzione della posizione in cui si trova: p=p(x).

La risultante delle pressioni sulla superficie S è data da:

F = ∫_Sp n dS con n versore normale ad S.

Si applica la prima equazione cardinale della statica:

G + I = 0 per conoscere la spinta totale sulla superficie S. Si tenga conto del fatto che:

• G = Peso del volume considerato
• VΠ = Risultante delle forze di superficie = Π₁ + Π₂ + ... + Π_m

Per trovare la risultante delle forze di superficie si suddivide S in tante piccole superfici su ognuna delle quali si conosce la distribuzione delle forze di superficie oppure si conoscono le forze di superficie risultanti già calcolate.

Esercizio 1

Si consideri una parete piana grande in un sistema come quello disegnato. R = 4 m, h₁ = 3 m, δ = 9800 N m^-3, l = 1/16, l = 1 m: profondità della parabola.

p_o = R₃ sind, p₂ = R₁ sind

H = H₁ - H₂

Si vuole calcolare la spinta del fluido sulla parabolica. Vediamo che le pressioni sono distribuite sulla parabolica in modo da essere ortogonale a questa in ogni suo punto.

Si applica la prima equazione cardinale della statica a un volume di controllo retto orizzontalmente. Si considera il volume di controllo B segnato in figura (XXXX) e si è suffic offv c'è la generazione (secavonale) cost. R cituendo un sistema di forze che dà la stessa distribuzione di pressioni.

Questo volume di controllo da noi scelto, si applica la prima equazione cardinale della statica. Il volume segnato in figura (...) è soggetto alla forza peso G₀ ed alla forza di superficie Π₀.

Π₁ e Π₂ sono le forze di superficie (spinte) che agiscono perpendicolarmente ai piani aventi traccia AC e CB rispettivamente mentre su V₀ cioè ABC la spinta sulla parabola.

Si ha che:

G₀ + Π₀ + Π₁ + Π₂ = 0 ⇒ S = V₀ = - G - Π₁ - Π₂

Se scomponiamo la spinta S lungo gli assi x e z si ha che:

• S_x = - Π_2x
• S_z = - Π₁₂ - G_z

Il modulo della forza peso è dato da:

|G| = δV - δ (R² ϑ )₂ sin² α

A₃ = A₁ - A₂

A₁ = R²/₂, infatti se si considera l'intero cerchio si ha che d'A=₁ = 2 π∫ R⁸

A₂ = R² sin α cos α

Il modulo della forza di superficie Π₁ è dato da:

Π₁ = [R(1 - cos α) · l ] · σ (R - R sin α)

dove R(1 - cosθ): l'Area delle superficie in cui agisce Π₁

∑(R - Rsin θ) = ∑_g2 = Pressione nel caricamento delle superfici su cui agisce Π₁.

Il modulo delle forze di superficie Π_z è dato da:

|Π_x| = |1|Rsinθ ∑_g[R²sinθ ()2], dove Rsinθ: Area delle superfici su cui agisce Π₂

∑(R²sinθ π²) = Pressione nel caricamento delle superfici su cui agisce Π₂.

Si ha che:

S_z = G_z + Π_xz = ∑_x[RR(1 - cosθ) + R²2 - R²sinθ (1 - cosθ)2)] = 12361 N

mentre |Π_z| = 338214 N

S_x è trovato ponendo S_x = |Π₂|

Oss. Avremmo potuto scegliere un'altra porzione di volume (ossia un altro volume di controllo) ed avremmo ottenuto gli stessi risultati.

1. Consideriamo tutto il volume disegnato (), si ha che:

|I_x| |I_x| = 1R (R - Rsinθ) |Π_z| = |Rsinθn (h - Rsinθ)2)]

da cui Π_x∼ = |Π₂∼|sinθ I_A2 = I₁₁ I₂ cosα₁

|I_G1| = x₂ L₂ R₂ / L₂²

Da cui si trova che S_1x = -I_12x, S₂ = I_12Z - I_12x — g_k => S = √(S_x² + S_g²), sostituendo i valori numerici si trova lo stesso risultato.

Se consideriamo un altro volume di controllo (M) troveremo una S una volta calcolato quindi S, dovremmo considerare il verso contrario.

M.B. Si noti che nel caso di una parabola la linea S passa sempre per il centro O quindi tutte le forze di superficie agenti sulla parabola sono ortogonali punto per punto a questa, quindi passano per il centro O, la maggior ragione anche P_o. Quindi S è ortogonale alla superficie se passa per il centro O.

Esercizio 2

Consideriamo una superficie piana inclinata di un certo angolo del minuto di un foro circolare dove per tappe è inserita una sfera. Si noti che avremmo potuto considerare la calotta sferica come facente parte della superficie.

Superficie piana x = 9806 N/m³, r = 3 cm, R = 50 cm, d = π/4

Si vuole trovare la spinta S=π₀ agente sulla calotta sferica. Consideriamo il volume di cono nella disegnato in figura, vi si applica la prima equazione cardinale della statica. G + π_AB + π₀ = 0

dove G π_AB = forza di superficie agente sul piano di traccia AB ed è uguale a questo.

Il modulo del peso è: ||G|| = ⅔ π R³ = 2567 N

Il modulo della forza di superficie π_AB è: ||π_AB|| = π R² x θ = 23045 N

Le componenti sono date da: ||π_ABx|| = ||π_AB|| cos d = ||π_AB|| √2 / 2 = 16338 N

_{N_AB} = | P_AB | sin d = | P_AB | ^√2/₂ = 16.338 N quindi

S = G - N_AB

• S_x = Π_ABx = 16.338 N
• S₂ = G₁ - Π_AB7 = (-1.2567 + 16.338) = 1.3771 N

N.B. Affinché ci sia equilibrio il poligono delle forze deve essere chiuso e le forze devono inseguirsi.

Esercizio 3

Consideriamo un sistema come disegnato in figura:

• q = 8806 N m^-3
• h = 1.5 cm
• D = 10 cm
• d = 20 cm
• a = 10 cm

Come volume di controllo si sceglie il tronco di cono.