Esercizi guidati di matematica 2

Linearmente indipendenti

Stabilire se i vettori in ℝ²: y = (1,0)   v = (0,1)   w = (1,-1) sono linearmente indipendenti. In caso negativo, esprimere uno di questi come combinazione lineare degli altri due.

Svolgimento

Si considerano 3 scalari arbitrari α₁, α₂, α₃ ∈ ℝ, e si impone che la combinazione lineare con i vettori assegnati sia uguale al vettore nullo 0 = (0,0):

α₁ u + α₂ v + α₃ w = 0

α₁ (1,0) + α₂ (0,1) + α₃ (1,-1) = (0,0)

Si svolgono prima i prodotti (vettore per scalare) e poi la somma tra i vettori al primo membro:

(α₁, 0) + (0, α₂) + (α₃, -α₃) = (0,0)

(α₁ + 0 + α₃, 0 + α₂ - α₃) = (0,0)

Due vettori sono uguali se sono uguali le rispettive componenti, dunque la precedente uguaglianza si traduce nel seguente sistema lineare:

{α₁ + α₃ = 0 α₂ - α₃ = 0}

Si scrive la matrice incompleta associata al sistema. Affinché i vettori siano linearmente indipendenti, il rango della matrice A deve essere uguale al

Linearmente indipendenti

Stabilire se i vettori in R²: u = (1,0) v = (0,1) w = (1,-1) sono linearmente indipendenti. In caso negativo, esprimere uno di questi come combinazione lineare degli altri due.

Svolgimento

Si considerano 3 scalari arbitrari α₁, α₂, α₃ ∈ ℝ, e si impone che la combinazione lineare con i vettori assegnati sia uguale al vettore nullo 0 = (0,0):

α₁ u + α₂ v + α₃ w = 0

α₁ (1,0) + α₂ (0,1) + α₃ (1,-1) = (0,0)

Si svolgono prima i prodotti (vettore per scalare) e poi la somma tra i vettori al primo membro:

(α₁, 0) + (0, α₂) + (α₃, -α₃) = (0,0)

(α₁ + 0 + α₃, 0 + α₂ - α₃) = (0,0)

Due vettori sono uguali se sono uguali le rispettive componenti, dunque la precedente uguaglianza si traduce nel seguente sistema lineare:

  ⎧ α₁ + α₃ = 0   ⎨   ⎩ α₂ - α₃ = 0

Si scrive la matrice incompleta associata al sistema. Affinché i vettori siano linearmente indipendenti, il rango della matrice A deve essere uguale al numero delle incognite del sistema, e quindi deve uguagliare il numero dei vettori (in questo caso 3):

A = ( 1 0 1 )         ( 0 1 -1 )

Matrice 2 x 3 (n° righe x n° colonne)

Rango massimo 2

det A^-1 = ( 1 0 )          ( 0 1 ) = 1 . 1 - 0 . 0 = 1 Rango 1

Poiché il rango è inferiore al numero dei vettori, essi sono linearmente dipendenti.

In questo caso devo esprimere uno dei vettori come combinazione lineare degli altri due. Quindi dati i vettori u = (1,0) e v=(0,1) una loro combinazione lineare sarà:

α₁u + α₂v = α₁ (1,0) + α₂ (0,1) = (α₁ ,0) + (0, α₂) =        = (α₁ + 0, 0 + α₂)

Per fare in modo che w = (1, -1) sia combinazione lineare di u e v si deve imporre che:

w = α₁u + α₂v

E calcolare i coefficienti della combinazione lineare:

(1, -1) = (α₁, α₂)

I due vettori sono uguali se coincidono componente per componente, dunque la precedente uguaglianza equivale al sistema:

{α₁ = 1 α₂ = -1

La soluzione del sistema è (α₁, α₂) = (1, -1) e quindi:

ω = α₁ u + α₂ v = 1 u - 1 v

Stabilire se i vettori in R³

➦ Stabilire se i vettori in R³: u = (2, -5, 1)          v = (2, -5, 0)          ω = (0, -5, 1) sono linearmente indipendenti. In caso negativo, esprimere uno di questi come combinazione lineare degli altri due.

Svolgimento

Si considerano 3 scalari arbitrari α₁, α₂, α₃ ∈ R, e si impone che la combinazione lineare con i vettori assegnati sia uguale al vettore nullo 0 = (0, 0, 0):

α₁(2, -5, 1) + α₂(2, -5, 0) + α₃(0, -5, 1) = (0, 0, 0)

(2α₁, -5α₁, α₁) + (2α₂, -5α₂, 0)