Esercizi equilibrio e stabilità

Equilibrio e stabilità

Considero sempre piccole perturbazioni

1. Calcolo equilibrio di un sistema
2. Determino la stabilità
3. Linearizzazione nell'intorno dell'eq. stabile

Condizioni di equilibrio

δL = 0

δL = ∑_k=1ⁿ Q_k (q₁, ..., q_n) δq_k = 0

CNS Q_k = 0 ∀ k

Se ci sono solo forze conservative

Q_k^c = ∂V/∂q_k = 0

Noi consideriamo k = 1

Q(q_i) = 0    x forze non conservative

∂V/∂q = 0    x forze conservative

Eq. algebriche non lineari (posso avere più soluzioni)

Per la stabilità considero q₀, c.d. equilibrio

Equilibrio e stabilità

Considero sempre piccole perturbazioni

Pssi:

1. Calcolo equilibrio di un sistema
2. Determino la stabilità
3. Linearizzazione nell'intorno dell'eq. stabilì

Condizioni di equilibrio

δL = 0

δL = _k=1 ⁿ Q_k (q₁, ..., q_n) δq_k = 0

CNS   Q_k = 0   ∀k

Se ci sono solo forze conservative

Q_k^c = δV / δq_k = 0

Noi consideriamo K = 1

Q(q) = 0   X forze non conservative

δV / δq = 0   X forze conservative

Eq. algebriche non lineari (possono avere più soluzioni)

Per la stabilità considero q₀, c.e. equilibrio

Forze non conservative e conservative

Se ho forze non conservative

∂Q/∂q_(q0) ≥ 0 stabile se ∂Q/∂q_(q0)

Se ho solo forze conservative

∂²V/∂q²_(q0) ≥ 0

Stabile se ∂²V/∂q²_(q0) > 0

Periodo delle piccole oscillazioni

T = ½ a_(qo) q̇² : 1pdl

Vincoli: r.m.a_(o) q̈ + ∂V/∂q²_(qo) Δq = 0 passo q → 0 Δq = q - q_o

ω² = ∂V/∂q²_(qo)1/a_(qo) V″_(qo) 1/a_(o) q_(-)

T_o = 2π/ω √ ( a_(o)/V′(a_(o)))

1. Ω
2. Semi disco m, R

||G-C|| = 4/3 R/π

Baricentro semipiano

k: θ_o = π/4

Ci sono solo forze cons. ⇒ lavoro con V

V = ½ k ΔE²_AB - mg h_g

Δ_AB = 2Rsen θ

Esercitazione pagina 2

h = Rsenθ + 4/3 R cosθ

V = 1/2 k 4R² sen²θ - mg(Rsenθ + 4/3 R cosθ)

∂V/∂q = 4KR² senθ cosθ - mgR cosθ + 4/3 mg senθ = 0

Conosco la θ₀ = π/4 e la mia incognita è k

2KR² - mgR 1/√2 + 4K/3π mg 1/√2 - 0

k = 1/2R (4/3π mg 1/√2 + mg1/√2 ) = mg/2θR ( 1, 4/3π )

Devo anche determinare le reaz. vincolari.

R = 0

H₀ = 0

V₀ = 2KR 1/√2 - mg

C: impedisce uno spostamento ortogonale all’asta

Disco e asta

Disco(a) M, R

Disco (a) M, R

Asta m, l

r_F0 = ?

v_A = ^d⁄_dt (l ϕ) i = ^lġ⁄_cosθ i

ω₁ = ^v⁄_R = ^h⁄_R θ̇ k

ω₂ = θ̇ k

v_(G) = v_A + ω₂ ∧(G_-A)

G_-A = ^l⁄₂(senθ i + cosθ j)

v_(G) = ^h⁄_cosθ - ^l⁄₂ cosθ ] i + ^lθ̇ senθ j

T = T₁ + T₂

T₁ = ¹⁄₂ ³⁄₂MR^{2 h2}⁄_{R² cosθ} θ̇²

T₂ = ¹⁄₂ m||v_(G)||² + ¹⁄₂ I_G ||w||²

=¹⁄₂ {[^h2⁄_cosθ + ^{l2 cosθ}⁄₄ θ̇² - ^hl⁄_cosθ + ^{l2 sen2θ}⁄_{4 cosθ}] θ̇² + ^mlR2⁄₁₂ θ̇²

T₂ = ¹⁄₂ [^h2⁄_cosθ + ^l2⁄₃ - ^hl⁄_cosθ ] θ̇²

T = ¹⁄₂ [ ³⁄₂ Mh² ⁄ cosθ + ^mh2⁄_cosθ + ^ml2⁄₃ - ^mlh⁄_cosθ ] θ̇²

Devo valutarlo nelle cde x r_F0 !!

Esercitazione pagina 4

V = m_p g h_A + m_p g h_G - ¹⁄₂ k Δl_AB²

h_A = R

h_G = R - ^l⁄₂ sen Θ

Δl_AB = h_p Θ

V = m_p g R + m_p g ( R - ^l⁄₂ sen Θ ) + ¹⁄₂ k l² h_p Θ²

^2V⁄_∂Θ = m_p g ^l⁄₂ sen Θ + k l² h_p Θ ¹⁄_{cos Θ}

= sen Θ ( m_p g ^l⁄₂ + ^{k l²}⁄_{cos Θ} ) = 0

cos Θ = ^{2k l²}⁄_{mp g l}

Devo anche valutare anche quali sono le soluzioni dalpl. di vista fisico

Di sicuro posso dire che Θ = 0 è soluzione

Considero Θ = 0 soluzione è stabile?

^2V⁄_∂Θ² = cos Θ ( m_p l² + k l² cos -³ Θ ) + sen Θ ( 3 k l² cos -&sup4; Θ sen Θ )

Esercitazione pagina 5

V''(ϑ₀) = mgℓ₂ + khl² > 0 per piccole perturbazioni il sistema è stabile

Se fosse instabile

V''(ϑ₀) = −mgℓ₂ + kh² lo imposto >0 e dimensiono k

−mgℓ₂ + kh² > 0 k > mgℓ₂ ¹ _kh² in questo caso il peso mi destabilizzava l'equilibrio

T_po = 2π √_V''(ϑ0) ^a(ϑ₀) = 2π √^{[ 3₂ Mk2 = mhk2 + ml3 ₃ - mlℓ} _{mg ℓ ² + khl²} V_k]

V = ¹ ₂ kℓ² sen + mgℓ cos

V_ϑ = Kℓ² sencos - mgℓ₂ sinsen = 0

sin( Kℓ² cos2 - mgℓ₂) = 0

₁ = 0 ₂ = π

V''(ϑ₀) = keℓ² cos2 - mgℓ₂ cos