Esercizi e soluzioni di matematica finanziaria

Esercizi svolti di matematica finanziaria

Esercizio 1

Nel mercato obbligazionario italiano del 10 Novembre 2009 si osservano i seguenti prezzi:

• Prezzo 96, per un titolo il cui valore a scadenza in è 102;
• Prezzo 98,5, per un titolo il cui valore a scadenza in è 100,

con = 10 Febbraio 2011 (cioè tra 1 anno e 3 mesi) e = 25 Luglio 2010 (cioè tra 8 mesi e mezzo).ein

Dire qual è il prezzo a termine stabilito oggi, per consegna in, per ricevere 150 T.

Soluzione

9698, 5 = 0, 985 e (0, ) = = 0, 941.(0, ) = 100 102

Allora, dal teorema dei prezzi impliciti si ha:

0, 941(0, ) = = 0, 955.(0, , ) = (0, ) 0, 985ein

Per cui, per ricevere 150 T, oggi stabilisco che in S è giusto pagare:

⋅ ⋅150 (0, , ) = 150 0, 995 = 143, 25e.

Esercizio 2

Si consideri un’obbligazione al 4%, con cedole semestrali, vita a scadenza di 1 anno e mezzo, rendimento del 3, 4%.

Relativamente a tale obbligazione, calcolare: il valore attuale, la scadenza media aritmetica, la duration di Macaulay.

Inoltre (senza calcolare i nuovi prezzi) dire approssimativamente qual è il prezzo dell’obbligazione se il rendimento aumenta dello 0, 5%, e qual è il prezzo dell’obbligazione se il rendimento diminuisce dello 0, 5%.

Soluzione

Calcoliamo i fattori di sconto necessari: −( ) ( ) 0, = 1+ , = 1, . . . , . In questo caso abbiamo: = 2 (numero di cedole in un anno), = 3 (periodi di pagamento rimasti), = 3, 4% (rendimento). Per cui i fattori di sconto che ci interessano sono:

−1) ( )( 0, 0341 = 1+ = 0, 983 0, 2 2 −2( )0, 034(0, 1) = 1 + = 0, 9672 −3( ) ( )3 0, 034 0, = 1+ = 0, 9512 2

Per cui il prezzo dell’obbligazione è:

( ) ( )1 3⋅ ⋅ ⋅ = 2 0, + 2 (0, 1) + 102 0, = 100, 8702 21

e la duration di Macaulay è:

12 3 31 ( ) ( )⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅2 0, + 1 2 (0, 1) + 102 0,2 2 2 = = 1, 471 anni.

Mentre la scadenza media aritmetica è:

321 ⋅ ⋅ ⋅2 + 1 2 + 1022 = = 1, 472 anni.2 + 2 + 102

La variazione del prezzo Δ è legata alla variazione del rendimento Δ nel seguente modo

∼ − ⋅ ⋅Δ Δ,dove è la duration modificata = = 1, 446 anni. 1 + Per cui se il rendimento aumenta dello 0, 5%, cioè