Esercitazioni Matematica per l'economia

Prova scritta di Matematica per l'Economia e Matematica Gen.le (E.A.- M.C.A (gruppo L-Z)) - 01 luglio 2015

Numeri pari

1. Data la funzione f(x) = e^x arccos(1/sqrt(1+e^x))

• A) Determinare il dominio I di f;
• B) Calcolare l'integrale indefinito di f in I, giustificandone l'esistenza;
• C) Calcolare anche l'integrale definito della restrizione di f a [-1,0] giustificando che il valore ottenuto coincide con l'area del rettangolo relativo a questa restrizione.

2. Calcolare il seguente limite: lim _x->-∞ (sqrt(1+x²-x+cosx) / sqrt(1-2x+sqrt(x²+2x+3-x)))

3. Studiare la seguente funzione: f(x) = -x/sqrt(x²-4) e tracciare approssimativamente il grafico. Determinare, inoltre, l'equazione della retta tangente al grafico in (sqrt(5), -sqrt(5)).

4. Data la funzione g: R -> R definita ponendo g(x) =2, x = 2x/(2-x), x != 2

• A) Studiare le eventuali discontinuità di g(x) classificandole ed inoltre enunciare il 2° teorema di Bolzano verificando che la restrizione di g a ]2,+oo[ soddisfa le ipotesi di questo teorema;
• B) Considerata la funzione integrale della restrizione di g a ]2,+oo[ di punto iniziale 3, denota con G₃, verificare utilizzando un noto teorema che essa è una primitiva di tale restrizione, ed inoltre studiare la monotonia e la convessità (concavità) di G₃;
• C) Dimostrare che la restrizione di g a [-1,1] soddisfa il teorema del punto fisso.

5. Data h: [-1,1] -> R definita ponendo per ogni a,b,c ∈ R h(x) =arcsen(x² - 1), -1 ≤ x ≤ 0 ax² + bx + c, 0 < x ≤ 1

• A) Determinare per quali valori dei parametri a,b,c ∈ R h verifica le ipotesi del teorema di Rolle in [-1,1] calcolando il valore del punto c in ]-1,1[ verificante la tesi;
• B) Per il valore dei parametri a, b, c ∈ R determinati al punto a., studiare la monotonia di h(x) e gli eventuali punti di estremo locale di h(x).

6. Data la funzione f(x,y) = y² - x³ + xy determinare il dominio di f(x,y), calcolarne le derivate parziali prime e seconde giustificando l'eventuale differenziabilità di f. Individuare infine gli eventuali punti di estremo locale.

(6 bis) Enunciare la definizione di limite di una funzione reale di variabile reale e dimostrare il teorema della permanenza del segno.

Prova scritta di Matematica per l'Economia e Matematica Gen.le (E.A.- M.C.A (gruppo L-Z)) - 01 luglio 2015

Numeri pari

1. Data la funzione f(x) = e^x arccos 1/sqrt(1+e^x)

• A) Determinare il dominio I di f;
• B) Calcolare l'integrale indefinito di f in I, giustificandone l'esistenza;
• C) Calcolare anche l'integrale definito della restrizione di f a [-1,0] giustificando che il valore ottenuto coincide con l'area del rettangoloide relativo a questa restrizione.

2. Calcolare il seguente limite: lim_x->-∞ sqrt(1+x²-x+cosx) / sqrt(1-2x+sqrt(x²+2x+3-x))

3. Studiare la seguente funzione: f(x) = - x / sqrt(x²-4) e tracciare approssimativamente il grafico. Determinare, inoltre, l'equazione della retta tangente al grafico in (sqrt(5), -sqrt(5)).

4. Data la funzione g: R -> R definita ponendo g(x) = { 2, x = 2 x/(2-x), x != 2 }

• A) Studiare le eventuali discontinuità di g(x) classificandole ed inoltre enunciare il 2° teorema di Bolzano verificando che la restrizione di g a ]2,+oo[ soddisfa le ipotesi di questo teorema;
• B) Considerata la funzione integrale della restrizione di g a ]2,+oo[ di punto iniziale 3, denotata con G₃, verificare utilizzando un noto teorema che essa è una primitiva di tale restrizione, ed inoltre studiare la monotonia e la convessità (concavità) di G₃;
• C) Dimostrare che la restrizione di g a [-1,1] soddisfa il teorema del punto fisso.

5. Data h: [-1,1] -> R, definita ponendo per ogni a,b,c in R h(x) = { arcsen(x² - 1), -1 <= x <= 0 ax² + bx + c, 0 < x <= 1 }

• A) Determinare per quali valori dei parametri a,b,c in R h verifica le ipotesi del teorema di Rolle in [-1,1] calcolando il valore del punto c in ]-1,1[ verificante la tesi;
• B) Per il valore dei parametri a,b,c in R determinati al punto a., studiare la monotonia di h(x) e gli eventuali punti di estremo locale di h(x).

6. Data la funzione f(x,y) = y² - x³ + xy determinare il dominio di f(x,y), calcolarne le derivate parziali prime e seconde giustificando l'eventuale differenziabilità di f. Individuare infine gli eventuali punti di estremo locale.

(6 bis) Enunciare la definizione di limite di una funzione reale di variabile reale e dimostrare il teorema della permanenza del segno.

Per lo svolgimento di questa prova è concesso un tempo massimo di tre ore.

a) Dato f(x) = e^x arccos(1/sup

Studiare la seguente funzione

f(x) = -x / sqrt(x² - 4)

Insieme di definizione: D_f: x² - 4 > 0 <=> x < -2 oppure x > 2 <=> D_f = ]-infty, -2[ U ]2, +infty[

f(x) > 0: x < -2

f(x) = 0: 0 not in D_f <=> empty

f(x) < 0: x > 2

Intervalli in cui il grafico di f è al di sopra dell'asse delle x: ]-infty, -2[

Punti comuni al grafico di f ed agli assi coordinati: //

Intervalli in cui il grafico di f è al di sotto dell'asse delle x: ]2, +infty[

Limiti significativi per f

lim f(x) = lim -x / sqrt(x² - 4) = lim -x / |x| = lim -x / x = -1

lim x-> -infty -x / sqrt(x² - 4) = lim -x / |x| = lim -x / -x = 1

lim x->2⁺ f(x) = +infty

lim x->-2^- f(x) = -infty

Equazioni degli asintoti del grafico di f

x = -2 asintoto verticale da sx

x = 2 asintoto verticale da dx

y = -1 asintoto orizz. da sx

y = 1 asintoto orizz. da dx

f'(x) = [ -sqrt(x² - 4) + x (2x / (2 sqrt(x² - 4))) ] / (x² - 4)

= [ -(x² - 4) + x² ] / [ (x² - 4) sqrt(x² - 4) ]

= 4 / (x² - 4)^3/2

f'(x) > 0: x in D_f

f'(x) = 0: //

f'(x) < 0: //

Punti angolosi o cuspidali del grafico di f: //

Intervalli in cui f è strettamente crescente: ]-infty, -2[, ]2, +infty[

Intervalli in cui f è costante: //

Intervalli in cui f è strettamente decrescente: //

Punti di minimo o di massimo relativo per f: //

Punti di minimo o di massimo assoluto per f: //

f''(x) = 4 . (-3/2) (x² - 4)^{-3/2 - 1} 2x = -12x / (x² - 4)^3/2 = -12x / [sqrt(x² - 4) (x² - 4)]

f''(x) > 0: x < -2

f''(x) = 0: 0 not in D_f <=> empty

f''(x) < 0: x > 2

Intervalli in cui f è convessa: ]-infty, -2[

Intervalli in cui f è concava: ]2, +infty[

Punti di flesso per f: //

f è biunivoca (iniettiva)? sì

Indicare l'insieme dei valori di f: ]-infty, -1[ U ]1, +infty[

Agli ultimi due quesiti conviene rispondere dopo aver tracciato il grafico di f.

y = f(x₀) + f'(x₀)(x - x₀)

x₀ = sqrt(5) f(x₀) = sqrt(5) f'(x₀) = 4