Esercitazioni Matematica per l'economia

NUMERI PARI

1. Data la funzione f(x) = e^x arccos _{(1/√(1+e^x))}
   1. a) determinare il dominio I di f ;
   2. b) calcolare l'integrale indefinito di f in I, giustificandone l'esistenza ;
   3. c) calcolare anche l'integrale definito della restrizione di f a [-1,0] giustificando che il valore ottenuto coincide con l'area del rettangoloide relativo a questa restrizione.
2. Calcolare il seguente limite : lim_x→∞ √(1+x²)-x+cosx/√(-2x+x²+2x+3-x)
3. Studiare la seguente funzione: f(x) = -x / √(x²-4) e tracciare approssimativamente il grafico. Determinare, inoltre, l'equazione della retta tangente al grafico in (√5,-√5).
4. Data la funzione g:ℝ → ℝ definita ponendo g(x) = {2 x = 2 x / 2-x x ≠ 2
   1. a) studiare le eventuali discontinuità di g(x) classificandole, ed inoltre enunciare il 2° teorema di Bolzano verificando che la restrizione di g a]2,+∞[ soddisfa le ipotesi di questo teorema;
   2. b) considerata la funzione integrale della restrizione di g a]2,+∞[ di punto iniziale 3, denotata con G₃, verificare utilizzando un noto teorema che essa è una primitiva di tale restrizione, ed inoltre studiare la monotonia e la convessità (concavità) di G₃;
   3. c) dimostrare che la restrizione di g a [-1,1] soddisfa il teorema del punto fisso
5. Data h:[-1,1] → ℝ definita ponendo per ogni a,b,c ∈ ℝ h(x) = {
   • arcsen(x² - 1), -1 ≤ x ≤ 0
   • ax² + bx + c , 0 < x ≤ 1
   1. a) determinare per quali valori dei parametri a,b,c ∈ ℝ h verifica le ipotesi del teorema di Rolle in [-1,1] calcolando il valore del punto c ∈ ]-1,1[ verificante la tesi;
   2. b) per il valore dei parametri a, b, c ∈ ℝ determinati al punto a. , studiare la monotonia di h(x) e gli eventuali punti di estremo locale di h(x).
6. Data la funzione f(x,y) = y² - x³ + xy determinare il dominio di f(x,y) ,calcolare le derivate parziali prime e seconde giustificando l'eventuale differenziabilità di f. Individuare infine gli eventuali punti di estremo locale.
1. Enunciare la definizione e i limiti di una funzione reale di variabile reale e dimostrare il teorema della permanenza del segno.

NUMERI PARI

1. Data la funzione f(x) = e^xarccos(1/√(1+e^x))
   1. determinare il dominio D f;
   2. calcolare l'integrale indefinito di f in I, giustificandone l'esistenza;
   3. calcolare anche l'integrale definito della restrizione di f a [-1,0] giustificando che il valore ottenuto coincide con l'area del rettangoioide relativo a questa restrizione.
2. Calcolare il seguente limite:

   lim_x→∞ (√(1/x²) - x + cos x)/(√(−2x + √(x² + 2x + 3) − x)

3. Studiare la seguente funzione: f(x) = -x/√(x²+4) e tracciare approssimativamente il grafico. Determinare, inoltre, l'equazione della retta tangente al grafico in (√5, −√5).
4. Data la funzione g:R→R definita ponendo
   • g(x) = 2x = 2
   • g(x) = x/(2−x)x ≠ 2
   1. studiare le eventuali discontinuità di g(x) classificandole, ed inoltre enunciare il 2° teorema di Bolzano verificando che la restrizione di g a]2,+oo[ soddisfa le ipotesi di questo teorema;
   2. considerata la funzione integrale della restrizione di g a]2,+oo[ di punto iniziale 3, denotata con G₃, verificare utilizzando un noto teorema che essa è una primitiva di tale restrizione, ed inoltre studiare la monotonia e la convessità (concavità) di G₃;
   3. dimostrare che la restrizione di g a [-1,1] soddisfa il teorema del punto fisso.
5. Data h: [-1,1] → R definita ponendo per ogni a,b,c ∈ R

   h(x) =

   • arcsen(x²−1),−1 ≤ x ≤ 0
   • ax² + bx + c,0 < x ≤ 1
   1. determinare per quali valori dei parametri a,b,c ∈ R h verifica le ipotesi del teorema di Rolle in [-1,1] calcolando il valore del punto c ∈]−1,1[ verificante la tesi;
   2. per il valore dei parametri a, b, c ∈ R determinati al punto a., studiare la monotonia di h(x) e gli eventuali punti di estremo locale di h(x).
6. Data la funzione f(x,y) = y² − x³ + xy determinare il dominio di f(x,y), calcolare le derivate parziali prime e seconde giustificando l'eventuale differenziabilità di f. Individuare infine gli eventuali punti di estremo locale.
7. (6 bis) Enunciare la definizione e i limiti di una funzione reale di variabile reale e dimostrare il teorema della permanenza del segno.

1)

Data f(x) = x² \ arccos \left(\frac{1}{\sqrt{1+x²}}\right)

a)

D(f) = ℝ x² \arccos \left(\frac{1}{\sqrt{1+x²}}\right) quindi D_f = ℝ

b)

∫^x₀ \arccos \left(\frac{1}{\sqrt{1+t²}}\right) \ dt = ∫⁰_x \arccos \left(\frac{t}{\sqrt{1+t²}}\right) \ dt = t² \arccos \left(\frac{t}{\sqrt{1+t²}}\right) - \sqrt{t²-1} \ + c

c)

∫⁰_x e^x \arccos \left(\frac{1}{\sqrt{1+t²}}\right) \ dt = [-e^i\theta arccos(\rho)]⁰₁ = \arccos(i\cdot e\cdot arccos \left(\frac{t}{\sqrt{t²-1}}\right))_|t=0

2)

\lim_{x \to +\infty} \frac{\sqrt{1+x} - x + \cos x}{\sqrt{1+2x} + \sqrt{x²+2x+3} - x}\lim_{x \to +\infty} \frac{-x + \cos x}{2x + \infty} = -1

Studiare la seguente funzione:

x²-4 >0 (⇒) x<-2 opp x>2 (⇔) D_g= ]-∞,-2[∪]2,+∞[

f(x)>0 x<-2

f(x)=0 0∉D_g⇒∅

f(x)<0 x>2

Intervalli in cui il grafico di f è al di sopra dell'asse delle x ]-∞,-2[

Intervalli in cui il grafico di f è al di sotto dell'asse delle x ]2,+∞[

Limiti significativi per f:

lim_x→-∞ x²-4 = ∞ , lim_x→∞ x²-4 = ∞

lim_x→-∞ x = -∞ , lim_x→∞ x = ∞

lim_x→-2^- g(x) = ∞ , lim_x→2⁺ g(x) = -∞

Equazioni degli asintoti del grafico di f:

f'(x)=

(x²-4) + x²

f'(x)>0 x∈D_g

Punti angolosi o cuspidi del grafico di f

Intervalli in cui f è strettamente crescente ]-∞,-2[

Intervalli in cui f è strettamente decrescente ]2,+∞[

f'(x)0

f'(x)=0

f'(x)