Esercitazione di meccanica razionale - esercitazione n° 10

Stabilità equilibrio

18/9/2011

Sistema I

cardR₀ + p₁ + p₂ = 0

R₀ = -p₁ - p₂ = 2 m g e₂

U = -m g y_B - m g y_D - 1/2 k AC² + φ

Fx_B = l senφ e₁ - l cosφ e₂

x_A = 2 l senθ e₁ - 2 l cosθ e₂

x_C = (l senθ + l senφ) e₁ + (l cosθ - l cosφ) e₂

x_C - x_A = (l senφ - l senθ) e₁ + (l cosθ - l cosφ) e₂

c_A = ||x_C - x_A|| = √(l² senφ + 2l ² senθ - 2l ² senφ senθ + l² cosφ + 2 l² cosθ - 2l² cosφ cosθ)

Stabilità equilibrio

ED 18/9/2011

Statica prima

• ϕ ∈ Kϕ = π/3 e Θ = π/6 equilibrio stabilità
• R⁰^{Azione di BC e OA}

OB = OA = l

Sistema I

lordR⁰ + p̄₁ + p̄₂ = 0

R⁰ = -p̄₁ - p̄₂ = 2mg ē₁

U = -mgȳ_B - mgŷ_D - 1/2 kAC² + ϕ

x̄_B = l senΘ ē₂ - l cosΘ ē₁

x̄_A = 2 l senΘ ē₁ - 2 l cosΘ ē₂

x̄_C = (l sen Θ + l sen(ϕ) ē₁ + (l cosΘ - l cosϕ)ē₂)/2

x̄_C - x̄_A = (l senϕ - senΘ) ē₁ + (l cosΘ - l cosϕ) ē₂

C̄_A = |x̄_C - x̄_A| = √(l² sen²ϕ + 2 l² senΘ - 2l²senϕsenΘ + 2l cosΘ ē₁ + l cosϕ - 2 l² cosΘ cosϕ - 2 l² cosΘ cosϕ)

E_A

E_A = √{l² + l² - 2l² (cosθ cosφ + sinθ sinφ)} = √{2l² - 2l² (cos(φ - θ))}

(E_A)² = 2l² - 2l² (cos(φ - θ))

U = -mgl (-lcosθ) - mgl (lcosθ + ^l/₂ cosφ) - ^k/₂ [2l² - 2l² cos(φ - θ)] + Mφ = 2mgl cosθ - mgl ¹/₂ cosφ + kl² cos(φ - θ) + Mφ

^∂U/_∂θ = -2mgl sinθ + kl² sin(φ - θ)

^∂U/_∂φ = -mgl ¹/₂ sinφ - kl² sin(φ - θ) + M→ 0 = -2mgl sin(^π/₆) + kl² sin(^π/₃ - ^π/₆) = 0

^∂U/_∂φ = -mgl ³/₂ - kl² sin(^π/₃ - ^π/₆) + M = 0

-mgl + kl^{2 1}/₂ = 0 → k = ^2mgl/_l

-mgl ^√3/₂ - kl^{2 1}/₂ + M = 0 → M = mgl + mgl^√3/₄

Stabilità

H = ( ∂2U/(∂θ)2 ∂2U/∂θ ∂φ ∂2U/∂φ ∂θ ∂2U/(∂φ)2 )

^∂2U/_(∂θ)² = -2mgl cosθ + kl² cos(φ - θ) (-1)

^∂2U/_(∂φ)² = -^mgl/₂ cosφ - kl² cos(φ - θ)= -^mgl/₂ + 2^mgl/_l - cos ^π/₆ - mgl ⁽¹⁾/_(+√3)

_d²_Φ—— = 0 + kl²cos(⁡_Φ - _θ) - _d²_Φdt² _dt²= 2μgl^√3_- = -μgl^√32

H = (-2√3 √3) μg_{l |}√3 (1/4 + √3)

se entrambe i negativi → stabile 1 _λ₁ + _λ₂ = Tr [H] = -2√3 = (1/4 + √3)_{→ sopra 0} -9/4 -

_λ₁_λ₂ = det [A] = 2√3 (¼ + √3) -3 = 6 + √3/2 -3 > 0 ~ ₁ & 2 _concordi

_λ₁_λ₂ se avessi fatto funzione energia al posto del potenziale scrivere seguire appunti

Reazione

R_O + _P ++ F^A + _{Bc→Da e}

F_B = R_o - _P - B_cB_→Da - 0=-(^2μg⁡/e_₂' ) -(μg/ _e₂ ') -_F^A

F^k_AC= k(¤_C–^X_A) = k ( _k^l√3/2 _de) ^e₁ ^{+ k (k(√3/2)l e₂)}

⬜ ¾ F_K= 36μg [ ^Fe √3-1/2 _{½ e}'= μ e (√3 - 1) -(ሗ‘_-(- ^Pes √3e

Dinamica

• TEq. diff. motoΘ(0)=φ(0)=0
• Θ(0)=0   φ(0)=w

_m?

_R(0)?

non siamo all'equilibrio