Esercitazione_4

ES.1 Supponiamo che ogni figlio di una coppia possa essere maschio o femmina con probabilità ¹⁄₂ indipendentemente dalla distribuzione dei sessi degli altri figli della coppia. Per una coppia con 5 figli calcolare la probabilità dei seguenti eventi:

• a) A = "Tutti i figli siano dello stesso sesso"

M_i = i-esimo figlio è maschio

A: (∩_i M_i) ∪ (∩_i M_i^c)

P(M_i) = ¹⁄₂ = 1 - P(M_i^c) = P(M_i^c) ∀_i

P(∩_i M_i) = ∏_i P(M_i) = ( ¹⁄₂ )⁵

P(∩_i M_i^c) = ∏_i P(M_i^c) = ( ¹⁄₂ )⁵

=> P(A) = ( ¹⁄₂ )⁵ + ( ¹⁄₂ )⁵ = ( ¹⁄₂ )⁴

• b) I 3 più vecchi sono maschi e le altre femmine

M_i: il figlio i-esimo è maschio

A = (M₁ M₂ M₃ M₄^c M₅^c) = P(M₁)P(M₂)...P(M₅^c)

P(∩_i=1³ M_i) = ( ¹⁄₂ )³

P(∩_i=4⁵ M_i^c) = ( ¹⁄₂ )²

= P(A) = ¹⁄_2³ * ¹⁄₂² * ( ¹⁄₂ )⁵

• c) Vi sono esattamente 3 maschi

P(C) = ^5₃ ( ¹⁄₂ )³ ( ¹⁄₂ )² = ( ^5₃ )( ¹⁄₂ )⁵

modi per contare 3 maschi e 2 femmine

È un caso di P(k successi su n prove) = ( ⁿ⁄_k ) p^k(1-p)^n-k

ES.1

Supponiamo che ogni figlio di una coppia possa essere maschio o femmina con probabilità ¹/₂ indipendentemente dalle distribuzioni dei sessi degli altri figli della coppia. Per una coppia con 5 figli calcolare la probabilità dei seguenti eventi:

1. A = "Tutti i figli siano dello stesso sesso"

   M_i = i-esimo figlio è maschio

   P(M_i) = ¹/₂ = 1 - P(M_i^c) = P(M_i^c), ∀i

   P(∩_i M_i) = ∏_i P(M_i) = (¹/₂)⁵

   P(∩_i M_i^c) = ∏ P(M_i^c) = (¹/₂)⁵

   =⇒ P(A) = (¹/₂)⁵ + (¹/₂)⁵ = (¹/₂)⁴

2. I 3 più vecchi siano maschi e le altre femmine

   M_i: il figlio i-esimo è maschio

   A = (∩_i=1³ M_i, M₄^c, M₅^c) = P(M₁) P(M₂) ... P(M₅^c)

   P(∩_i=1³ M_i) = (¹/₂)³

   P(∩_i=4⁵ M_i^c) = (¹/₂)²

   P(A) = ¹/_2³ * ¹/₂ * (¹/₂)⁵

3. Vi siano esattamente 3 maschi

   P(C) = ⁵/₃(¹/₂)³(¹/₂)² = (⁵/₃) (¹/₂)⁵

   modi per contare

   3 maschi e 2 femmine

   È un caso di P(k successi su n prove) = (ⁿ/_k) p^k(1-p)^n-k

d) I due più vecchi sono femmine

M_i = "Il figlio i-esimo è maschio"

P(A) = (¹/₂)²

e) Vi sia almeno una femmina

E = "Almeno una femmina"

P(E) = 1 - P(E^c) = 1 - (¹/₂)⁵

Eo.2 Si consideri un sistema formato da n componenti, ognuna funzionante indipendentemente dalle altre, che funziona globalmente efunzionano almeno K delle n componenti. Calcolare le probabilità di lo sistema funzioni se ciascuna componente funziona con probabilità p.

P(A) = _i=k^mmC_i pⁱ (1-p)^m-i

E_i: { funzionano esattamente i componenti }

E : { Il sistema funziona } = ∪_i=k^m E_i ⇒ P(E) = _i=k^m P(E_i)

Eo.3 A e B effettuano una serie di giochi. Ogni gioco è vinto, indipendentemente, da A con probabilità p e da B con probabilità 1-p. Sifermons quando il numero di vincite totale di uno dei due giocatori è uguale a due in più di quelli dell'altro giocatore.

E = "Si effettuano 4 giochi" , calcoler P(E)

F = "A vince la partita" , calcola P(E)

A_i: "Il gioco i-esimo è vinto da A"

B_i: A_i^c

P(A_i) = p

E = A₁B₂ A₃ A₄ + B₁ A₂ B₃ B₄ + B₁ A₂ A₃ A₄ + A₁ B₂ B₃ B₄

P(E) = 2 ⋅ p³ (1-p) + 2 ⋅ (1-p)³p

oppure

F₂ = { A e B sono pari dopo 2 giochi }

E = { La partita finisce dopo 4 giochi }

P(E) = P(EF₂) + P(EF₂^c)

P(E) = P(EF₂)

P(E) = P(E|F₂)P(F₂)

P(A, B₂) + P(B₂, A₁) = p(1-p) + (1-p)p = 2 p(1-p)

P(E) = [p² + (1-p)²](1-p) 2 ⋅ p = 2 p(1-p)(2p² - 2p + 1)

b) E : { A vince la partita }

A può vincere la partita soltanto in turni pari

E_2k : { A vince la partita al turno 2k } sono tutti disgiunti

E = ⋃_k E_2k ⇒ P(E) = ∑^∞_k=1P(E_2k)

E_2k : I pari sono tutti i turni 2i, i₁, x₁... x_k-2, poi due vittorie di A

E_2k = D₁D₂...D_k-1 ∩ {due vittorie di A}

P(E_2k) = [2p(1-p)]^k-1 p²

P(E) = ∑^∞_k=1 p² [2p(1-p)]^k-1

= p² ∑^∞_k=1 [2p(1-p)]^k-1

= p² ∑^∞_m=0 [2p(1-p)]^m = p² 1/(1-2p(1-p)) = p² 1/(p²+(1-p)²)² Probabilità che vinca A

Es. 5 Siano E, F, G tre eventi: mutuamente esclusivi per un dato esperimento. Mostrare che se effettuiamo delle prove indipendenti dell'esperimento, la probabilità che E accada prima di F e G è: P(E) / Unione di eventi disgiunti P(E ∪ (F ∪ G)) = P(E) + P(F) + P(G)

Chiamiamo H = F ∪ G

P(E < H)

E₁: {E si verifica al 1^o stimo} es. dado mostre 1

H₁: {H si verifica al 1^o stimo} es. dado mostre 2

P(E) = P(E ∩ E₁) + P(E ∩ H₁) + P(E ∩ (E₁ ∪ H₁)^c)

=[P(E | E₁) P(E₁)] + [P(E | H₁) P(H₁)] + [P(E | (E₁ ∪ H₁)^c) P((E₁ ∪ H₁)^c) = P(E)] =

= P(E₁) + P(E) [1 - (P(E₁) + P(H₁))]

⇒ P(E) = P(E₁) / [P(E₁) + P(H₁)]

ma questo ragionamento è valido ∀ E_i ≠ H_i

Usiamole con riferimento all'esercizio 3

α: { A vince 2 giochi di seguito }

β: { B "" " }

P(A vince) = P(α < β) =

             = P(α) / (P(α) + P(β)) =

             = p² / (p² + (1-p)²)

Es. 7 Com’è possibile utilizzare una moneta che da teste con probabilità0 < p < 1 e code con probabilità q = 1-p per simulareuna moneta equilibrata?

P(C < D) = P(T) / (P(C) + P(D)) =

                         = p(1-p) / 2p(1-p) = 1/2

ES. 9

52 carte diviso in 4 mazzetti di 13 con la probabilitàche ciascun mazzetto contenga 1 asso.

E: { ciascun mazzetto contiene un asso }

• E₁ { 1 PICCHE in un mazzetto }
• E₂ { PICCHE, CUORI in mazzetti divisi }
• E₃ { "" " FIORI "" }
• E₄ { "" " QUADRI "" }

E = E₁∩E₂∩E₄