Equazioni e disequazioni moto rettilineo e piano inclinato

Matematica: equazioni e disequazioni, problemi di matematica e fisica

Moto rettilineo, piano inclinato

Problema 134

Lo spazio di arresto s, espresso in m per un veicolo che viaggia alla velocità v, in km/h, può essere approssimato alla formula s = v/10 ⋅ 3 + (v/10)².

Quando si guida a vista, il guidatore deve regolare la velocità in modo che in ogni momento sia possibile fermarsi entro la distanza visibile. Per distanza visibile si intende la lunghezza del tratto di strada che il guidatore può vedere. Determina la massima velocità ammissibile se la distanza visibile è uguale a 25 m.

Svolgimento

Per frenare in sicurezza lo spazio d’arresto deve essere minore o uguale alla distanza visibile: s ≤ 25.

(v/10)² + 3 ⋅ v/10 − 25 ≤ 0.

Poniamo per semplicità di calcolo: x = v/10.

x² + 3x − 25 ≤ 0.

Risolviamo l’associata: x² + 3x − 25 = 0.

Δ = 109 > 0.

x_1,2 = (−3 ± √109) / 2.

v = 10x = 5 ⋅ (−3 ± √109).

{ v₁ = 5 ⋅ (−3 − √109) = −67 ℎ ; v₂ = 5 ⋅ (−3 + √109) = 37 ℎ }.

(v/10)² + 3 ⋅ v/10 − 25 ≤ 0.

La disequazione è verificata per valori interni: −67 ℎ ≤ v ≤ 37 ℎ.

Nel problema la velocità può assumere solo valori positivi, perciò affinché il guidatore possa frenare in sicurezza la velocità massima è circa 37 km/h.

Moto rettilineo: problema 135

Un corpo di massa 5,0 kg è posto su un piano inclinato liscio, lungo 2,0 m e alto 1,0 m. Il corpo è collegato a una molla di costante elastica k=100 N/m e a un punto materiale di massa m come in figura.

• A. Trova m sapendo che il sistema è in equilibrio e che l’allungamento della molla è di 30 cm.
• B. Il comportamento della molla è elastico fino ad un allungamento di 50 cm. Per quali valori di m la molla segue la legge di Hooke? ≤ 7.6][a) 5,6kg; b)

Svolgimento

Consideriamo il corpo di massa m. Le forze agenti sono il suo peso e la tensione, entrambe dirette verticalmente. Supponendo che la fune sia inestensibile e di massa trascurabile, il modulo della tensione lungo la fune è uniforme ovvero uguale a quello della tensione del primo tratto di fune che regge la massa M, quindi sappiamo che: T₂ = T₁.

Il corpo di massa m è in eq