Equazione del piano contenete tre punti

Equazione del piano contenente tre punti, forma bilineare prodotto scalare. Equazione del piano contenente tre punti, forma bilineare prodotto scalare

) Determinare l’equazione del piano π contenente i punti A(1, 1, 0), B(1, 0, 1) e C(0, 1, 2) e verificare se il punto D(1, 2, 1) è un punto del piano. Stabilire inoltre se la retta r: x = 1 + t, y = 1 + t, z = −3t è contenuta nel piano.

Sia π il piano passante per A parallelo ai vettori AB e AC. Si ha π: [x − 1 y − 1 z ][ 0 −1 1 ] 0 1 2

π: 2x + y + z − 3 = 0

Sostituendo le coordinate di D nell'equazione che definisce π otteniamo 2 + 2 + 1 − 3 = 0, che è un'uguaglianza falsa, e quindi D ∉ π.

Consideriamo ora l'intersezione tra r e π risolvendo il seguente sistema:

{ x = 1 + t, y = 1 + t, z = −3t, 2x + y + z − 3 = 0

Sostituendo nell'ultima equazione, otteniamo 2(1 + t) + (1 + t) − 3t − 3 = 0, che è verificata per ogni valore di t.

Quindi r ed π hanno infiniti punti in comune, ossia r ⊂ π.