Elaborato di analisi matematica

Esame di analisi - Prova con contenuti di analisi II

Equazioni differenziali e integrali particolari

1. Un integrale particolare dell’equazione y' - 2y = x² + 3x è

   • A) y(x) = -¹/₂x² - 2x - 1
   • B) y(x) = x² + 3x
   • C) y(x) = -¹/₂x² - 2x
   • D) y(x) = e^2x

2. Un integrale particolare dell’equazione y' - 2y = cosx è

   • A) y = -¹/₅sinx - ²/₅cosx
   • B) y = ¹/₅sinx - ²/₅cosx
   • C) y = sinx
   • D) y = e^2x

3. Un integrale particolare dell’equazione y' - 2y = e^2x è

   • A) y = x
   • B) y = e^2x
   • C) y = xe^2x
   • D) y = x e^2x/₂

4. Soluzione dell’equazione y' - 3x²y = 0 è

   • A) y = e^3x
   • B) y = e^x3
   • C) y = x³
   • D) y = 3

5. Soluzione dell’equazione y'y = 1 è

   • A) y = √x
   • B) y = 2√x
   • C) y = ¹/_x

6. Una soluzione dell’equazione y'' - 3y' + 2y = 0 è

   • A) y = 2e^x
   • B) y = 2x
   • C) y = e^3x
   • D) y = 2x

7. La soluzione dell’equazione y'' - y = 0 che verifica le condizioni y(0) = 1 , y'(0) = 1 è

   • A) e^x
   • B) e^-x
   • C) ¹/₂ (e^x + e^-x)
   • D) cosx

Problemi di analisi e calcolo integrale

8. Una soluzione dell’equazione y'' - y = sinx è

   • A) cos x
   • B) -sinx
   • C) 1/2 (cosx - sinx)
   • D) -sinx/2

9. Una soluzione dell’equazione y'' + y = 2x - 3 è

   • A) x² - 3x
   • B) e^2x-3
   • C) 2x - 3
   • D) 0

10. La soluzione dell’equazione y'' + y = 0 che verifica le condizioni y(pi/2) = 0 ; y'(pi/2) = pi/2 è

    • A) -cosx
    • B) -pi/2 cosx
    • C) -cos(pi/2 x)
    • D) Nessuna delle precedenti

11. La lunghezza della curva di equazioni parametriche x = cos³t, y = sin³t ; t ∈ [0; 2π] è

    • A) 0
    • B) 3
    • C) 12
    • D) 6

12. Il dominio della funzione f(x,y) = √(2x - x² - 1) è

    • A) È l’insieme vuoto
    • B) È l’insieme dei punti di una parabola
    • C) Corrisponde ai punti di una retta
    • D) È costituito da un solo punto

13. L’insieme {(x,y) ∈ R²: x + y = 3} è

    • A) Chiuso
    • B) Aperto
    • C) Limitato
    • D) Finito

14. Le curve di livello della funzione f(x,y) = x² sono

    • A) Rette
    • B) Circonferenze
    • C) Iperboli
    • D) Ellissi

Geometria e limiti

1. L'insieme E = {(x, y, z) : -2 < z ≤ 1 e z < 3 - x² - y²} è

   • A) Chiuso
   • B) Limitato
   • C) Aperto
   • D) Non connesso

2. lim_{(x,y)→(0,0)} (x-y)/(x+y) vale

   • A) 1
   • B) -1
   • C) 0
   • D) Non esiste

3. La derivata rispetto ad x della funzione f(x, y) = ln(2x + y) nel punto (1,1) è uguale a

   • A) 2/3
   • B) 1/3
   • C) 1
   • D) 2

4. Il piano tangente al grafico di z = x + xy² nel punto (0;0;0) ha equazione

   • A) z=0
   • B) z=x
   • C) z=x+y
   • D) x=y

5. Il gradiente di f(x, y, z) = xy + yz in (0,0,0) è

   • A) 0
   • B) (0,0,0)
   • C) (1,2,1)
   • D) Non si può calcolare

6. La funzione f(x, y) = |x|y nel punto (0,1)

   • A) È differenziabile
   • B) È continua
   • C) Ammette derivate parziali
   • D) Nessuna delle altre risposte

7. L'integrale di f(x, y) = xy² esteso al triangolo di vertici (-3; 0), (3; 0); (0; 3) è

   • A) 27
   • B) 81
   • C) 0
   • D) 27/5

Calcolo differenziale e integrale

22. L'integrale di f(x,y) = x - y esteso al dominio D = {(x, y) ∈ R² : x² ≤ y ≤ √(x³)} è

    • A) 0
    • B) 4/5
    • C) 9/10
    • D) 14/15

23. ∭_D 1/(x+y)² dx dy dove D = [3,4]×[1,2] vale

    • A) ln 25/4
    • B) 25/4
    • C) 5/2
    • D) ln 5/4

24. Se f(x,y) = sen(xy) si ha

    • A) f_x = ycos(xy); f_y = xcos(xy)
    • B) f_x = cos(xy); f_y = sen(xy)
    • C) f_x = ysen(xy); f_y = xsen(xy)
    • D) f_x = cos(xy); f_y = cos(xy)

25. La forma differenziale ω = senx dx + cos y dy

    • A) Non è chiusa
    • B) È esatta
    • C) Non è esatta
    • D) Nessuna delle precedenti

26. Una primitiva della forma differenziale ω = senx dx + cos y dy è

    • A) f(x, y) = senx + cos y
    • B) f(x, y) = senx - cos y
    • C) f(x, y) = sen y - cos x
    • D) f(x, y) = cos y - sen x

27. L'integrale generale dell'equazione y' = 3y è

    • A) y = cx
    • B) y = ce^3x
    • C) y = ce
    • D) y = cex

28. L'integrale generale dell'equazione y' = 3y + 1 è

    • A) -1/3x + c
    • B) e^x + c