Distanza del punto da una retta

Distanza del punto da una retta, circonferenza di centro A tangente alla retta; Applicazione lineare R₄ Distanza del punto da una retta, circonferenza di centro A tangente alla retta; Applicazione lineare R₄

Si consideri il punto \(A(1,0,3)\) e la retta \(r \, : \, \begin{cases} y = t \\ x = 1 \\ z = - \frac{3}{2} \end{cases}\)

1. Determinare la distanza del punto \(A\) dalla retta \(r\);
2. Determinare la circonferenza di centro \(A\) tangente alla retta \(r\).

a) Distanza del punto dalla retta

Sia \(\pi\) il piano per \(A\) perpendicolare alla retta \(r\) e sia \(H = \pi \cap r\), allora \(d(A,H) = d(A,r)\).

Ora il vettore direttore della retta \(r\) è \(r' \, (1,0,0)\) e quindi \(\pi\) è il piano per \(A\) di parametri di giacitura \( (a,b,c) = (1,0,0)\) di equazione

\[\pi : a(x - x_0) + b(y - y_0) + c(z - z_0) = x - 1 = 0\]

Da cui \(H(1,1,-2)\) e

\[d(A,H) = \sqrt{(1 - 1)^2 + (1 - 0)^2 + (-2 - 3)^2} = \sqrt{26}\]

b) Circonferenza di centro A tangente alla retta

La circonferenza \(C\) richiesta è data dall'intersezione della sfera \(\Sigma\) di centro \(A\) e raggio \(R = d(A,r)\), con il piano \(\alpha\) per \(r\) ed \(A\). Allora

\[\Sigma : (x - 1)^2 + y^2 + (z - 3)^2 = 26\]

Mentre il fascio di piani per \(r\) ha equazione

\[F(r) : y - 1 + k(x + \frac{z}{2} - 1) = 0\]

Imponendo il passaggio per \(A\) si ottiene \(k = \frac{1}{5}\) da cui \(a \cdot 5y \pm c \cdot z = 3 \cdot 0\) e quindi

\[\begin{cases} (x - 1)^2 + y^2 + (z - 3)^2 = 26 \\ 5y + x - 3 = 0 \end{cases} \]