Dinamica e Controllo di processo

Relazioni dinamica e controllo 2018/2019

Francesco Porro Silvia Ceccarini

Sommario

• Esercizio 1 ....................................................................................................................................................... 2
• Codice MATLAB ............................................................................................................................................ 9
• Esercizio 2 ..................................................................................................................................................... 12
• Codice MATLAB .......................................................................................................................................... 18
• Esercizio 3 ..................................................................................................................................................... 21
• Esercizio 4 ..................................................................................................................................................... 25
• Codice MATLAB .......................................................................................................................................... 33
• Esercizio 5 ..................................................................................................................................................... 37
• Codice MATLAB .......................................................................................................................................... 42
• Esercizio 6 ..................................................................................................................................................... 44
• Codice MATLAB .......................................................................................................................................... 57
• Esercizio 7 ..................................................................................................................................................... 61
• Esercizio 8 ..................................................................................................................................................... 70
• Codice MATLAB .......................................................................................................................................... 81
• Esercizio 9 ..................................................................................................................................................... 83
• Codice MATLAB .......................................................................................................................................... 90
• Esercizio 10 ................................................................................................................................................... 97
• Codice MATLAB ........................................................................................................................................ 105
• Esercizio 11 ................................................................................................................................................. 108
• Codice MATLAB ........................................................................................................................................ 113
• Esercizio 12 ................................................................................................................................................. 115
• Codice MATLAB ........................................................................................................................................ 121
• Esercizio 13 ................................................................................................................................................. 122
• Codice MATLAB ........................................................................................................................................ 125
• Esercizio 14 ................................................................................................................................................. 126
• Codice MATLAB ........................................................................................................................................ 144
• Esercizio 15 ................................................................................................................................................. 147
• Codice MATLAB ........................................................................................................................................ 157
• Esercizio 16 ................................................................................................................................................. 160
• Codice MATLAB ........................................................................................................................................ 169
• Esercizio 17 ................................................................................................................................................. 175
• Codice MATLAB ........................................................................................................................................ 186
• Esercizio 18 ................................................................................................................................................. 191
• Codice MATLAB ........................................................................................................................................ 196

Esercizio 1

Il sistema riportato in figura rappresenta due serbatoi in serie non interagenti. Assumendo una relazione tra 0.5 = portata in uscita e battente del tipo; il sistema è non lineare. Costruire un modello linearizzato e confrontare le risposte h (t) e h (t) (modello vs processo reale) per una variazione a gradino della portata in ingresso q, a partire da uno stato stazionario di equilibrio. Evidenziare le differenze al variare delle condizioni operative (stazionario iniziale e ampiezza dell’ingresso).

Il sistema, come da descrizione, è costituito da due serbatoi non interagenti in serie. La portata in uscita di ogni serbatoio può essere descritta con la relazione 0.5, = dove R e h sono la resistenza allo scarico e l’altezza del serbatoio i-esimo. Sono state effettuate le seguenti ipotesi per la stesura del modello sia del caso reale.

• Serbatoi identici A = A = A;
• Resistenza allo scarico congruenti R = R = R;
• Perfetto miscelamento;
• ρ = ρ

Caso stazionario: 0.5 0.5,1 ,2 = = = = =,1 ,1 ,2 ,2 → =,1 ,2 Relazione vera solo sotto le ipotesi effettuate.

Bilancio di materia generale: ,1 - - =0,1 ,1 { ,2 - - =0,2 ,2 (0) = ,1 { (0) = ,2

È possibile sostituire le variabili in termini di variabili di scostamento: = + ,1 ,1 1 = + ,2 ,2 2 = +,1 ,1 1

Caso reale

Si introducono le variabili di scostamento, e dopo alcuni passaggi algebrici, è possibile ottenere il seguente sistema di equazioni differenziali. + ,1 ,1 1= - ( · ) ( ),1 - ,2 2= - ( · ) ( · ){ (0) = 01{ (0) = 02

Modello lineare

Assumendo valide le ipotesi e le relazioni del caso precedente, la funzione dell’altezza viene linearizzata tramite sviluppo in serie di Taylor. - ,0.5 0.5( ) = ( ) + 0.5(2 · ), Si sostituisce la funzione linearizzata nelle variabili del bilancio generale.

Tramite le variabili di scostamento, definite sopra, si possono riscrivere le equazioni nella forma seguente: · -1 1= -2 1 2={ Le costanti di guadagno e tempo k e τ sono così definite: 0.5 = 2 · (), 0.5 = 2 · · (), Si riportano i grafici delle risposte dei due serbatoi nei due casi.

L’andamento del primo serbatoio (entrambi i casi), è una risposta tipica di un sistema lineare del primo ordine, mentre l’altro serbatoio ha una risposta di un sistema lineare del secondo ordine. In questo ultimo caso è infatti presente un flesso, quindi un cambiamento della curvatura.

Dallo stesso grafico si possono confrontare gli andamenti dei serbatoi nel modello linearizzato e nel caso reale. Sulle ordinate è presente la variabile di scostamento dell’altezza , per cui il valore al tempo iniziale è nullo. Il modello linearizzato per sua costruzione approssima la funzione in un intorno del punto h, perciò risulta valido solamente in prossimità di tale punto.

A conferma di quanto esposto sopra, si nota che le curve del serbatoio i-esimo sono pressoché identiche nei due casi, mentre allo stazionario si raggiungono valori differenti. Inoltre si può notare che il modello sottostima la variabile scostamento dell’altezza.

Si valuta di seguito l’effetto dei seguenti parametri sulla risposta:

• Resistenza allo scarico R;
• Variazione dello stazionario iniziale ,1;
• Variazione dello scostamento della portata ;
• Variazione dell’area del serbatoio A;

Nota: i seguenti grafici sono stati valutati solo per il secondo serbatoio, in quanto si osservano risposte analoghe caso per caso anche per il primo serbatoio.

Risposta al variare della resistenza allo scarico R

All’aumentare della resistenza allo scarico del secondo serbatoio, si ha un incremento del valore dell’altezza al nuovo stazionario e del tempo per raggiungerlo. La stessa risposta si verifica nel modello linearizzato e nel caso reale, con la differenza di un effetto più marcato nel sistema non lineare.

Variazione altezza stazionario iniziale

Come nel caso precedente, l’aumento dell’altezza iniziale porta ad un aumento del livello nel serbatoio al nuovo stazionario e del tempo caratteristico. Le stesse conclusioni valgono nei due casi.

Variazione della portata

Anche in questo caso si ha una risposta analoga alle precedenti, quindi un incremento dell’ingresso a gradino porta ad un valore più alto del nuovo stazionario. L’effetto è maggiore nel caso reale.

Variazione dell’area del serbatoio

In entrambi i casi aumentando l’area dei serbatoi, a parità di tempo, la variazione dell’altezza (nel transitorio) diminuisce pur raggiungendo lo stesso valore allo stazionario.

Codice MATLAB

File altezza12.m:

function dy = altezza12(t,y)
global R h0 q A; %q1 variabile scostamento dallo stazionario
k=2*R*h0^(0.5);
tau=2*R*A*h0^(0.5);
dy=zeros(2,1);
dy(1)=(k*q-y(1))/tau; %equazione serbatoio 1
dy(2)=(y(1)-y(2))/tau; %equazione serbatoio 2
end

File altezzaNL.m:

function dy=altezzaNL(t,y)
global R h0 q A ;
q0=sqrt(h0)/R;
dy=zeros(2,1);
dy(1)=(q0+q)/A - sqrt(h0+y(1))/(R*A); %equazione serbatoio 1
dy(2)=sqrt(h0+y(1))/(R*A) - sqrt(h0+y(2))/(R*A); %equazione serbatoio 2
end

File es1_plot1.m:

clear all;
close all; 
clc;
global R h0 q A;
R=1; h0=1; q=1; A=1;
% confronto modello VS caso reale;
y0=[0,0];
[T,Y]=ode45(@altezza12,[0 30],y0);
figure(1);
plot(T,Y);
hold on;
[T,Y]=ode45(@altezzaNL,[0 30],y0);
plot(T,Y);
grid
xlabel('tempo');
ylabel('variazione altezza');
title('risposta nel tempo modello vs caso reale');
legend({'modello: serbatoio 1','modello: serbatoio 2','caso reale: serbatoio1','caso reale: serbatoio 2'},'Location','southeast');
%modello linearizzato; RR
span=linspace(1,3,3);
figure(2);
for i=1:3
R=Rspan(i);
[T,Y]=ode45(@altezza12,[0 60],y0);
plot(T,Y(:,2));
hold on; %seconda colonna = secondo serbatoio;
end
grid;
xlabel('tempo');
ylabel('variazione altezza');
title('risposta nel tempo modello serbatoio 2');
legend({'R=1','R=2','R=3'},'Location','southeast');
%caso reale; RR
span=linspace(1,3,3);
figure(3);
for i=1:3
R=Rspan(i);
[T,Y]=ode45(@altezzaNL,[0 200],y0);
plot(T,Y(:,2));
hold on;
end
grid;
xlabel('tempo');
ylabel('variazione altezza');
title('risposta nel tempo caso reale serbatoio 2');
legend({'R=1','R=2','R=3'},'Location','southeast');
%modello; h0
hspan=linspace(1,3,3);
R=1;
figure(4);
for i=1:3
h0=hspan(i);
[T,Y]=ode45(@altezza12,[0 100],y0);
plot(T,Y(:,2));
hold on;
end
grid;
xlabel('tempo');
ylabel('variazione altezza');
title('risposta nel tempo modello serbatoio 2');
legend({'h0=1','h0=2','h0=3'},'Location','southeast');
%caso reale; h0
hspan=linspace(1,3,3);
figure(5);
for i=1:3
h0=hspan(i);
[T,Y]=ode45(@altezzaNL,[0 100],y0);
plot(T,Y(:,2));
hold on;
end
grid;
xlabel('tempo');
ylabel('variazione altezza');
title('risposta nel tempo caso reale serbatoio 2');
legend({'h0=1','h0=2','h0=3'},'Location','southeast');
%modello; q
qspan=linspace(1,2,3);
h0=1;
figure(6);
for i=1:3
q=qspan(i);
[T,Y]=ode45(@altezza12,[0 200],y0);
plot(T,Y(:,2));
hold on;
end
grid;
xlabel('tempo');
ylabel('variazione altezza');
title('risposta nel tempo modello serbatoio 2');
legend({'q=1','q=1.5','q=2'},'Location','southeast');
%caso reale; q
qspan=linspace(1,2,3);
figure(7);
for i=1:3
q=qspan(i);
[T,Y]=ode45(@altezzaNL,[0 200],y0);
plot(T,Y(:,2));
hold on;
end
grid;
xlabel('tempo');
ylabel('variazione altezza');
title('risposta nel tempo caso reale serbatoio 2');
legend({'q=1','q=1.5','q=2'},'Location','southeast');
%modello; A
Aspan=linspace(1,2,3); 
q=1;
figure(8);
for i=1:3 
A=Aspan(i);
[T,Y]=ode45(@altezza12,[0 200],y0);
plot(T,Y(:,2));
hold on;
end
grid;
xlabel('tempo');
ylabel('variazione altezza');
title('risposta nel tempo modello serbatoio 2');
legend({'A=1','A=1.5','A=2'},'Location','southeast');
%caso reale; A
Aspan=linspace(1,2,3);
figure(9);
for i=1:3
A=Aspan(i);
[T,Y]=ode45(@altezzaNL,[0 200],y0);
plot(T,Y(:,2));
hold on;
end
grid;
xlabel('tempo');
ylabel('variazione altezza');
title('risposta nel tempo caso reale serbatoio 2');
legend({'A=1','A=1.5','A=2'},'Location','southeast');

Esercizio 2

Con riferimento allo schema in figura, in cui è rappresentato un sistema lineare di ordine 2:

• a) Studiare la risposta per ingresso a gradino all’aumentare del numero di serbatoi n e dei loro volumi (V , V ,…. V );
• b) Per un prefissato n=5 approssimare la risposta con un sistema del tipo primo ordine più ritardo (FOPTD), in modo da minimizzare l’errore tra la risposta vera Y(t) e la risposta approssimata Y (t), ∞ 2 = () ; () = () - (); per mezzo della funzione ∫0 () = sin(),
• c) Studiare l’andamento della risposta per un ingresso sinusoidale (al variare del numero di serbatoi n e della pulsazione ω); valutare analiticamente l’ampiezza dell’uscita allo stazionario, sapendo che per un singolo elemento la relazione è 1= .2 √1+( )

a) Bilancio materiale per n=2

Nel caso di n=2, il bilancio materiale risulta: · () = · () + · 1 { · () = · () + · 2

Per un generico serbatoio i-esimo: () () · = · + · -1 Ipotesi:

• Volumi costanti;
• Portate volumetriche costanti e uguali;
• Assenza di reazione chimica;
• Perfetto miscelamento

() () = + · ; = ; = 1, … -1 (0) = 0 (0) = { 0

Il problema è stato studiato inizialmente ipotizzando lo stesso volume per tutti i serbatoi, e facendo variare il loro numero. Si riporta il grafico per n=5. Si osserva che all’aumentare del numero di serbatoi aumenta il tempo di permanenza totale, ovvero la concentrazione impiega più tempo a raggiungere il nuovo valore stazionario derivante dall’ingresso a gradino.

Successivamente sono stati variati i volumi di ciascun serbatoio, osservando come varia la risposta per i casi:

• V < V < … < V (volume dei serbatoi aumenta)
• V > V > … > V (volume dei serbatoi decresce)

Nel primo caso si osserva un aumento dei tempi di permanenza, infatti procedendo verso l’ultimo serbatoio aumenta il tempo per raggiungere lo stazionario. Confrontando il grafico con il caso di volumi [...]