Compiti svolti Statistica

Teoria della Probabilità

1. E(X) = Σ x p(x) _{valore atteso di x}
2. V(X) = Σ (x-μ)² p(x)_{varianza (x)}
3. V(X+a) = V(X) _{varianza (x+costante)}
4. V(X+Y) = V(X) + V(Y) + 2 Cov (X,Y) _{varianza (x+y)}
5. Cov(x,y) = E (x-μ_x) E(y-μ_y) _{covarianza (x,y)}

Regressione Bivariata

6. S_xy = Σ (x-x̄)(y-ȳ) / n-1 _covarianza

   r_xy = S_xy / S_xS_y = Σ zx zy / n-1 con z = x-μ / s

   = Σ (x-x̄) ^{_{Indice di correlazione del Pearsons}} / n-1

7. e_i = y_i - ŷ_i = y_i - (a+b x_i)_{residui di regressione}

   Perciò Σ e_i = 0

   Quindi, e_i² = Σ (y_i - ŷ_i)² = Σ [y_i - (a+b x_i)]²_{residui al quadrato}

8. a = ŷ - bx̄

9. b = ( Σ xy - x̄ȳ ) / ( Σ x² - x̄² )

Proprietà del MMO:

1. La retta regressione passa da (x̄ ; ȳ)
2. Σ e_i = 0

TEORIA DELLE PROBABILITÀ

1. E(X) = Σ x p(x) _{Valore atteso di x}

2. V(x) = Σ (x-μ)² p(x) _{Varianza (x)}

3. V(x+a) = V(x) _{Varianza (x+costante)}

   V(x+y) = V(x) + V(y) + 2cov _{Varianza (x+y)}

4. cov(x,y) = E(x-μ_x) E(y-μ_y) _{covarianza (x,y)}

REGRESSIONE BIVARIATA

1. S_xy = Σ (x-x̄)(y-ȳ) / n-1 _covarianza

4. r_xy = S_xy / S_xS_y con Z = x-μ / s e S = Sqrt Σ (x-x̄)² / n-1 _{Indice di correlazione di Pearson}

5. e_i = y_i - ŷ_i = y_i - (a+b x_i) _{residui di regressione}

MA

PERÒ:

1. • retta regressione passa da (x̄;ȳ)

   • Σ e_i = 0

QUINDI:

e_i² = Σ (y_i - ŷ_i)² = E( y_i - (a+b x_i) )² _{residui al quadrato}

1. a = ȳ - b x̄

2. b = ( Σ (x_i - x̄)(y_i - ȳ) ) / Σ (x_i - x̄)² _{Coefficiente dei residui}

a. ȳ - bx̄

r = r xy S y

S yx = r S S² ε²

S xi ε i = 0 {proprietà dei MQO} non devono essere correlati con gli stimatori della } costanti non correlati con il termine errore e→

β cov(x,e) = ε(x)e = ε(x)ε(e) → ε xie i = ε xe = ε x e

β cor(x,e) = ρ (x,e) = 0 → p(x,e) = 0 implica correlazioni

ε yi e i = 0 valori incensari con valori stimati y hat

yi-ȳ = (yi-ŷᵢ)+(ŷᵢ-ȳ) \= (yi-ȳ)

Σ(yi-ȳ)² = Σ(yi-ŷᵢ)² + Σ(ŷᵢ-ȳ)²

teorema di scomposizione della devianza

ε (yi-ȳ)² > Σ(yi-ŷᵢ)² + Σ(ŷᵢ-ȳ)²

S xi e i esperimenti di regressione linea

S i² = 0

coefficienti radici quadrati (MQO)

determina

Σ(yi-ȳ)²

equals

coefficiente di [illeggibile]

O²

R² = r xy² devianza de

devianza de regressione * = Σe i²

note di determinazione l'inverso della specifica

PRE = ^E1-E2/_E1 con E1 = errore nel predire y senza covariate → per questo sostituiamo denominatore b.

^Sxy/_SxSy → per dati randomizzati, = 0 → a = y-bx = 0

¹/_n Σ xi con distribuzione x̄ ~ N(μ, ^σ2/_n)

yi = α + βxi + εi

Se² = Σ^(_yi-ŷ_i2)/(n-2)

ε ei² = stima della varianza condizionale (gde = n-2)

βˆ = Σw_iyi con ^{x_i - x̄}/_{Σ(xi - x̄)²}

Ε(bˆ) = β^*

V(βˆ|X=xi) = σ2 Σ(xi-x̄)22

sε² = ¹/_Σ(xi-x̄)² Sommare errore standard di bˆ

V(αˆ|X=xi) = ^{σe2 ⇒ Z_βˆ}

^{βˆ - E(βˆ)/√V(βˆ)}

t_{βˆ =βˆ ↔}

• P{ -t ≤ _j/ _j≤ t} = 1 - α con t ~ T(n-k-1)

• I. C. di j

• P{ j + t j ≥ j ≥ j - t ≥ j } = 1 - α → P { j + t ≥ j ≤ j ≤ j}

• Ho: j = 0 ... j ... k

test 0,8

Ha: β₁≠0;....;βᵏ≠0

(βⱼ+δβⱼ=βⱼ-δβⱼ=)1-α

calcolo: βⱼ, s.e.βⱼ con

βⱼ±t *

calc:

Yⁱ = b₀ + b₁x₁ + ... + bᵏxᵏ + εⁱ

βⱼ≠0;....;βᵏ≠0 _(u=k)

con p = 1

F= SSR/q ^*(1-R²)

Dev_reg/(n-k-1) _{((yᵢ-«Y»)²/2)}

σ^²_{(MinSSE F)}

_{dato: σ² = ΣΣ(yᵢ-«Y») dato: σ²}

testa