Compiti svolti Statistica

Teoria della probabilità

• 1) E(X) = S x p(x) valore atteso di x
• 2) V(X) = S (x - mu)² p(x) varianza (x)
• 3) V(x + a) = V(x) V(x+y) = V(x) + V(y) + 2cov (x,y) varianza (x + y)
• 4) cov (x,y) = E (x - mux) E (y - muy) covarianza (x,y)

Regressione bivariata

• 1) S_xy = S (x - xbar)(y - ybar) / n - 1 covarianza
• 2) r_xy = S_xy / S_x S_y = S z_x z_y / n - 1 con z = x - m / s e S = sqrt( S (x - xbar)² / n - 1 ) Indice di correlazione di Pearson
• 3) e_i = y_i - yhat_i = y_i - (a + b x_i) residui di regressione

Però...

S e_i = 0

Quindi...

e_i² = S (y_i - yhat_i)² = S [y_i - (a + b x_i)]² residui al quadrato

Proprietà dei MQO

• 1) Retta regressione passa da (xbar; ybar)
• 2) S e_i = 0
• 4) a = ybar - b xbar

Teoria della probabilità

• E(X) = Σ x p(x) valori atteso di x
• V(X) = Σ (x - μ)² p(x) Varianza (x)
• V(x + a) = V(x) V(x + y) = V(x) + V(y) + 2cov(x,y) Varianza (x+y)
• cov(x,y) = Σ (x - μ_x) Σ (y - μ_y) Covarianza (x,y)

Regressione bivariata

• S_xy = Σ (x - x̄)(y - ȳ) / n - 1 covarianza
• r_xy = S_xy / S_x S_y = Σ z_x z_y / n - 1 con z = x - μ / s e S = √(Σ (x - x̄)² / n - 1) Indice di correlazione di Pearson
• e_i = y_i - ŷ_i = y_i - (a + bx_i) residui di regressione

Proprietà dei M.Q.O

• Retta regressione passa da (x̄; ȳ)
• Σe_i = 0

e_i² = Σ (y_i - ŷ_i)² = Σ [y_i - (a + bx_i)]² residui al quadrato

• a = ȳ - b x̄
• b = Σ (x_i - x̄)(y_i - ȳ)

e_i² = Σ(y_i - ŷ_i)² = Σ[y_i - (a + bx_i)]²

a = ȳ - bx̄

b = Σ(x_i - x̄)(y_i - ȳ) / Σ(x_i - x̄)² = s_xy / s_x² = r s_y / s_x

Σx_ie_i = 0

Cov(x,e) = E(xe) - E(x)E(e)

cor(x,e) = p(x,e) = E(xe)

y_i - ȳ = (y_i - ŷ_i) + (ŷ_i - ȳ)

Σ(y_i - ȳ)² = Σ(y_i - ŷ_i)² + Σ(ŷ_i - ȳ)²

R² = devianza regressione / devianza totale = Σ(ŷ_i - ȳ)² / Σ(y_i - ȳ)²

R² = r_xy²

pRE = E₁ - E₂ = R², con E₁ = errore del primo modello e E₂ = errore del secondo modello.

b = S_xy / S_x²

b = S_xy / S_xx

b = r_xy S_y / S_x

a = ȳ - b x̄

e = 0 (=> a = ȳ - b x̄)

con stimatore x̄ = 1/n Σx_i

σ stimatore di s = σ

ŷ_i = a + bx_i

S_e² = Σ(y_i - ŷ_i)² / n - 2

S_e = sqrt[Σ(y_i - ŷ_i)² / n - 2]

β̂ = w_i y_i, con w_i = (x_i - x̄) / Σ(x_i - x̄)²

E(β̂) = β

V(β̂ < x = x_i) = σ² / Σ(x_i - x̄)²

V(β̂) = σ² / n(x_i - x̄)²

t_β = (β̂ - E(β̂)) / sqrt[V(β̂)]

V(β̂)

z_β = p(β̂) / sqrt[V(β̂)]

11) PRE = (E1 - E2) / E1 = R² con E1 = errore nel prevedere y senza conoscere x - devianza totale

E2 = errore nel prevedere y come funzione lineare di x - devianza residui

12) r_xy = Sxy / Sx Sy

b = Sxy / s_x²

b = r_xy Sy / Sx

sostituendo 'r' al numeratore di b...

per dati standardizzati si avrà:

b = r_xy Sy / Sx = rxy in quanto i dati standardizzati hanno sd = 1

e x = 0 (⇒ a = y - b x = 0)

13) x̄ = 1/n Σ xi con distribuzione x̄ = N(μ, σ²/n)

stima di μ

σ stimato da s => σ_x̄ = S/√n

yi = α + βxi + εi

retta di regressione bivariata

s_e² = Σ(yi - ŷi)² / (n - 2) = Σe_i² / (n - 2)

stima della varianza condizionale

gde = n - 2

s_e = √(Σ(yi - ŷi)² / (n - 2))

errore standard della regressione

16) β̂ = Σ wiYi con w_i = (xi - x̄) / Σ(xi - x̄)²

β̂ come stima di β

E(α̂) = α

E(β̂) = β

gli stimatori di MAQ α̂ e β̂ di α e β sono statisticamente corretti

V(β̂ | X = xi) = σ_ε² / Σ(xi - x̄)²

varianza di β̂

= σ² / (n - 1) Sx²

18) s_β̂ = s_e / √Σ(xi - x̄)²

stima dell'errore standard di β̂

19) V(α̂ | X = xi) = σ_ε² Σxi² / n Σ(xi - x̄)²

varianza di α̂

z_β̂ = (β̂ - E(β̂)) / √V(β̂) = (β̂ - E(β̂)) / √(σ² / Σ(xi - x̄)²)

=> t_β̂ = (β̂ - E(β̂)) / √(s_e² / Σ(xi - x̄)²)

distribuzione t student con n - 2 gde

t_β̂ = β̂ / s_β̂

P{-t