Campo elettrico generato da un guscio cilindrico. Applicazione del teorema di Gauss.

Problema svolto di fisica: campo elettrico, teorema di Gauss, guscio cilindrico

Un guscio cilindrico, di raggio interno R₁ = 5,8 cm e raggio esterno R₂ = 8,5 cm ha una densità volumica di carica uniforme ρ = 3,9 × 10^-6 C/m³.

Calcola il modulo del campo elettrico nel punto P che dista d = 12,7 cm dall’asse del guscio cilindrico.

[6,7 × 10³ N/C]

Problema svolto di fisica: campo elettrico, teorema di Gauss, guscio cilindrico

Un guscio cilindrico, di raggio interno R₁ = 5,8 cm e raggio esterno R₂ = 8,5 cm ha una densità volumica di carica uniforme ρ = 3,9 × 10^-6 C/m³.

Calcola il modulo del campo elettrico nel punto P che dista d = 12,7 cm dall’asse del guscio cilindrico.

[6,7 × 10³ N/C]

Soluzione

Il guscio cilindrico può essere considerato come la sovrapposizione di due cilindri concentrici.

Quello interno di raggio R₁ e quello esterno di raggio R₂.

La densità volumica di carica ρ, che rappresenta la quantità di carica contenuta per unità di volume del guscio, è positiva, questo significa che il campo elettrico, al pari di una lastra piana, è uscente dalle due superfici S₁ ed S₂.

N.B. se arrotoliamo una lastra piana su se stessa otteniamo infatti il guscio cilindrico!!

Il punto P si trova ad una distanza di 12,7 cm dall’asse del cilindro, quindi è all’esterno del guscio.

Il campo elettrico fuori è dato dalla sovrapposizione dei campi elettrici generati dalle due distribuzioni di carica, quella sulla superficie interna e quella sulla superficie esterna.

Dal teorema di Gauss abbiamo:

E = \(\frac{ρR_{2}^{2}}{2ε_{0}}\frac{1}{r}\)

Riscriviamola per i due campi:

E₁ = \(\frac{ρR_{1}^{2}}{2ε_{0}}\frac{1}{d}\) e E₂ = \(\frac{ρR_{2}^{2}}{2ε_{0}}\frac{1}{d}\)

Sommiamo:

E(P) = -E₁ + E₂