Batterie di esercizi di esame e simili esame (introvabili)

Consigli per l'esame

All'esame si può portare righello e goniometro (compasso?). Il 1º esercizio è quello che richiede più tempo per i calcoli, è preferibile lasciarlo per ultimo, quantomeno è consigliato impostarlo e lasciare i calcoli da fare alla fine, se rimane tempo. In ogni caso, per ogni esercizio, è sempre raccomandabile concentrarsi sul procedimento.

Riguardo l'orale

Non viene conservato neanche nella stessa sessione. È molto simile allo scritto, non vengono chiesti gli enunciati o i teoremi. Principalmente viene chiesto ciò che si ha sbagliato o non si ha proprio fatto allo scritto. Riguardare quindi gli esercizi d'esame.

Esempi di domande

• Aspetti teorici o esercizi diversi da quelli fatti all'esame, ad esempio se all'esame abbiamo risolto la cinematica con metodo grafico all'orale può venirci chiesto il metodo analitico, se abbiamo usato il teorema di Rivals ci vengono chiesti i cerchi di Bresse, ecc.
• Per punteggi alti domande comuni sono i fenomeni giroscopici, le eq. cardinali della dinamica, che cosa sono le polari del moto, la determinazione dei CIR, il metodo di Lagrange (se non c'era allo scritto), la determinazione delle forze e dei momenti d'inerzia.
• Spesso ci viene chiesto di svolgere un esercizio.

Simulazione

Partiamo dalla richiesta a). Essendo la geometria simmetrica non serve effettuare il calcolo analitico, è possibile individuare per via grafica il punto di simmetria della figura tramite le diagonali AC e BD, l'intersezione dà il punto G baricentro.

Per quanto riguarda la richiesta b), vale lo stesso discorso: gli assi centrali d'inerzia sono gli assi di simmetria, quindi la verticale e l'orizzontale passanti per il punto G trovato.

Passiamo alla richiesta c). Possiamo considerare questa geometria composta da 3 rettangoli, due orizzontali (B'BCC' e AA'D'D) ed uno verticale (F'E'G'H'). Possiamo quindi rappresentare la sezione come somma dei 3 rettangoli, oppure possiamo procedere per sottrazione eliminando dal quadrato ABCD i rettangoli A'B'E'F' e H'G'C'D'. Nel farlo dobbiamo stare attenti al sistema di riferimento rispetto al quale facciamo i calcoli e dobbiamo applicare più volte il teorema del trasporto.

Svolgimento: In precedenza avevamo già effettuato i calcoli per questa sezione. Ricordiamoci che la matrice d'inerzia è diagonale quando ci riferiamo ad assi principali d'inerzia.

La richiesta d) può essere soddisfatta mediante teorema del trasporto. Se per il tensore d'inerzia baricentrico, essendo la geometria simmetrica, è solo diagonale (tutti gli elementi della matrice d'inerzia sono 0 tranne quelli sulla diagonale), per il tensore d'inerzia rispetto agli assi X e Y compariranno dei termini di trasporto diversi da 0 oltre a quelli sulla diagonale.

Infine, per la richiesta e) dobbiamo trovare l'angolo α d'inclinazione dell'ellissoide d'inerzia, pari a 0 essendo gli assi principali d'inerzia, e dobbiamo trovare gli assi principali d'inerzia ρ_x e ρ_y rappresentati nello svolgimento. Anche all'esame dovremo disegnare l'ellissoide in maniera schematica, non precisa, è sufficiente che il centro sia nel baricentro, che gli assi siano ruotati di α (qui 0) e che i due raggi dell'ellisse siano raggio minore ρ_y e raggio maggiore ρ_x.

Ricordiamoci che l'ellissoide è una rappresentazione grafica che ci permette di rappresentare il comportamento del sistema a rotazione. Se la geometria è simmetrica, l'ellissoide ricalca la piastra principale d'inerzia (rettangolo verticale, dove c'è più massa).

Questo esercizio riguarda la cinematica

Nella traccia non specifica che meccanismo è, può essere un quadrilatero, un doppio quadrilatero, un manovellismo di spinta, un glifo, un biella-bielletta, meccanismo a ritorno rapido (variazione glifo). (Questi sono tutti quelli che capitano a lezione). GdL, velocità ed accelerazioni sempre richieste, CIR a volte richiesti, non sempre. A volte viene anche specificato con quale metodo (grafico, analitico o un metodo in particolare), altre volte lo possiamo scegliere noi, ad esempio, tra teoremi di Rivals o cerchi di Bresse per via grafica o equazioni di chiusura per via analitica.

Le dimensioni ed i valori possono essere assegnati, oppure dobbiamo assumerle noi, scegliendo valori semplici (vel. angolari e acc. angolari unitarie volendo). In questo particolare esercizio il consiglio è di usare Rivals, provare a farlo anche coi cerchi di Bresse.

Svolgimento: "Determinare velocità ed accelerazioni" sottintende "determinare velocità ed accelerazioni dei punti caratteristici del meccanismo", cioè B e C, A e D no perché sono fermi. È un classico quadrilatero, innanzitutto ricaviamo i gdl con la regola di Grubler: (N numero di corpi, f₁ vincoli che lasciano 1 gdl (ne tolgono 2), f₂ vincoli che lasciano 2 gdl (ne tolgono 1), ma non ne abbiamo, quindi f₂ = 0)

Determiniamo ora i CIR, il loro numero è uguale a: I CIR C₁₂, C₂₃, C₃₄, C₄₁ li troviamo immediatamente perché sono i centri delle cerniere in A, B, C, e D, mancano gli ultimi 2. Possiamo trovarli col metodo pratico del disegno di tanti vertici quanti sono i corpi appartenenti al sistema. A noi mancano solo i due lungo la diagonale, quindi C₂₄ e C₁₃, li possiamo trovare tramite i due teoremi di Aronhold-Kennedy. Non ci serve l'enunciato del teorema perché la rappresentazione grafica ci aiuta a trovare gli allineamenti che soddisfano il teorema. Per trovare C₁₃ (diagonale), dobbiamo trovare i triangoli che hanno in comune quell'ipotenusa, cioè i triangoli 123 e 143. Li scriviamo.

In entrambi gli allineamenti l'incognita è C₁₃. Due rette si incontrano in un solo punto, che è proprio C₁₃. Torniamo quindi nel disegno e tracciamo due rette, una passante per C₁₂ e C₂₃, una passante per C₄₁ e C₄₃, la loro intersezione dà C₁₃. Questo è il CIR assoluto del corpo 3 rispetto al telaio 1. Per trovare C₂₄ facciamo la stessa operazione. Abbiamo quindi trovato tutti e 6 i CIR.

Dopodiché l'esercizio chiede di trovare, per via grafica, velocità e accelerazioni (analisi cinematica). Possiamo seguire due vie: teoremi di Rivals o cerchi di Bresse, scegliamo il primo. (Durante le lezioni lo abbiamo svolto con entrambi i metodi). Possiamo assumere noi i valori, iniziamo da questo. Ci servono tante informazioni quanti sono i gdl, il meccanismo ha 1 gdl, iniziamo da questo. Ci servono tante informazioni quanti sono i gdl, il meccanismo ha 1 gdl, quindi dovremo sapere (in questo caso stabilire) 1 informazione sulle posizioni, 1 sulle velocità, 1 sulle accelerazioni. Essendo liberi di scegliere, poniamo valori semplici. Per ω₂, ad esempio, non solo stabiliamo che ha valore 1, ma scegliamo anche che sia costante, siamo liberi di farlo.

Dobbiamo anche conoscere le lunghezze degli elementi del meccanismo, le ipotizziamo. All'esame le lunghezze dei segmenti possiamo assegnarle misurando col righello il meccanismo e poi facendo una proporzione. Se non abbiamo il disegno decidiamo noi. Possiamo subito trovare la velocità di B. Dobbiamo anche fissare una scala delle velocità, essendo un metodo grafico. v(B) sarà a 90º rispetto al segmento AB e lungo 5 cm con verso concorde con ω₂.

Definiamo il 1º teorema di Rivals

Applichiamolo. v(C) velocità assoluta del punto C rispetto al telaio, v(B) vel. di trascinamento perché C appartiene al corpo 3 e viene spinta dal moto del punto B, v(CB) velocità relativa. Conosciamo la direzione di v(C), essa descrive un moto rotatorio con centro D, essa sarà tangente alla traiettoria di C, sarà quindi ortogonale a CD, non conosciamo il modulo. Di v(B) conosciamo tutto. Di v(CB) conosciamo la direzione, essa compie moto rotatorio di C rispetto a B, la velocità è tangente a questa circonferenza di centro B e raggio BC, non conosciamo il modulo.

Il metodo dei teoremi di Rivals è anche detto metodo dei diagrammi polari perché, una volta riempita la tabella, prendiamo un polo O arbitrario ed, a partire da esso, tracciamo il vettore v(B) completamente noto, poi eseguiamo l'eq. vettoriale appena scritta. A partire dall'estremo libero di questo vettore applichiamo la direzione di v(CB). Andando dall'altra parte dell'uguaglianza troviamo v(C), anche di questa conosciamo solo la direzione, la riportiamo ma ripartendo dal polo O. L'intersezione delle due direzioni dà il punto che soddisfa l'eq. vettoriale. v(B) e v(CB) si devono inseguire perché stanno dallo stesso lato dell'uguaglianza, v(C) deve ripartire da O. Col righello misuriamo i due vettori, applichiamo la scala delle velocità e poi li riportiamo sul disegno. Questo completa l'analisi delle velocità. Ci fosse stato un altro punto, ad esempio tra B e C, avremmo dovuto farlo anche di quello.

Andiamo all'analisi delle accelerazioni

Definiamo il 2º teorema di Rivals e ricordiamoci che l'acc. di Coriolis è sempre nulla (a parte che nel glifo). Volendo, all'esame, possiamo spiegare il perché: l'acc. di Coriolis è nulla perché, per la sua definizione, devono esserci contemporaneamente rotazione e traslazione, questo non si verifica nel nostro quadrilatero.

a(B) la conosciamo completamente perché conosciamo le sue componenti tangenziale e normale. Fissiamo una scala delle accelerazioni e rappresentiamo poi a(B). La componente normale è rivolta da B verso A ed è lunga 5 cm. Dato che la componente tangenziale è 0, a(B) coincide con a(B)_n.

Scomponiamo ora gli altri vettori in componenti normali e tangenziali. Di a(C)_n conosciamo la direzione (parallela a CD) e modulo (v(C)² / CD oppure ω₄² • CD). Di a(C)_t non conosciamo il modulo ma la direzione (ortogonale a CD). a(B)_n è completamente nota, il modulo lo abbiamo calcolato, la direzione (parallela ad AB).