Analisi matematica 20/06/2005

Prova scritta di analisi matematica 2

Corso di laurea in Ingegneria informatica

Prof.ssa A. Alberico

20 Giugno 2005

COGNOME:

NOME:

MATRICOLA:

ORALE: Giugno ( ) Luglio (I appello) ( ) Luglio (II appello) ( )

Quesiti

1. Determinare l'insieme di convergenza della serie

   ^+∞∑_n=1(-1)ⁿ arctan (^nx/_{n² + 1})

   e studiarne la convergenza uniforme.

2. Determinare i punti di massimo e minimo assoluto della funzione

   f(x, y) = |x|y(x² + y² - 4),

   nel cerchio di centro l’origine e raggio 3. Stabilire se nello stesso insieme esistono ulteriori punti di massimo e minimo relativo.

3. Risolvere il seguente problema di Cauchy

   y' = ^{2y - x}/_{3y - 2x}

   y(1) = 0.

4. Dire se la funzione

   f(x, y) = {^{2xy5 - 3x3y4}/_{(x² + 4y²)²} (x, y) ≠ (0, 0)

   0 (x, y) = (0, 0)

   è continua nell’origine.

5. Data la seguente forma differenziale

   ω = (e^x2+y2 2x(1 + x² + y²)) dx + (e^x2+y2 2y(1 + x² + y²)) dy,

   • Stabilirne se è esatta e, in tal caso, calcolarne una primitiva;
   • Calcolare, poi, il seguente integrale curvilineo ∫_γ ω dσ dove una rappresentazione parametrica della curva γ è data da

   x(t) = t³ + t

   y(t) = t² + 1

   t ∈ [0, 1].