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Esame di geometria e algebra (Febbraio/2007)

Cognome e Nome.................................... Matr. e anno di iscr..................... Firma....................

  1. Sottospazi vettoriali di R4

    Siano U e Wh i sottospazi vettoriali di R4 così definiti:

    U: x - t = 0
    y + z + t = 0

    Wh = L((h,0,1,1),(1,h,0,1)), con h ∈ R.

    • A) Dire per quali valori di h ∈ R risulta U + Wh = R4.
    • B) Dire per quali valori di h ∈ R risulta U ∩ Wh = {0}.
    • C) Determinare una base del sottospazio U + Wh, quando h = -1.

  2. Endomorfismo di R3

    Si consideri l'endomorfismo di R3 dato da:

    Fh(x,y,z) = (x + y - z, hx + hy + z, z) ∀ h ∈ R.

    • A) Dire per quali valori di h ∈ R lo scalare 3 è autovalore per Fh.
    • B) Si dica, giustificando brevemente le risposte, in quali dei seguenti casi l'endomorfismo Fh è diagonalizzabile: h = 0; h = 1; h = -1.

  3. Riferimento cartesiano nello spazio

    Fissato un riferimento cartesiano nello spazio, si considerino la retta r passante per i punti A(1,-1,-2) e B(0,0,-1), la retta s:

    y + z = 2
    y = 1

    e il punto P(1,0,0).

    • A) Determinare la retta per P ortogonale sia alla retta r che alla retta s.
    • B) Determinare la retta per P complanare sia con la retta r che con la retta s.
    • C) Rappresentare il piano contenente la retta r e parallelo alla retta s.
    • D) Esistono piani contenenti la retta r ed ortogonali alla retta s? Giustificare la risposta da un punto di vista geometrico.

Riportare sull'altra pagina un breve svolgimento degli esercizi 1a), 2a), e 3a).

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Scienze matematiche e informatiche MAT/03 Geometria
I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher N. A. di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Algebra e Geometria e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università Università degli studi di Napoli Federico II o del prof Donati Giorgio.
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