Algebra e Geometria - esercizi

ESAME DI GEOMETRIA E ALGEBRA (Febbraio/2007)

Cognome e Nome: ……………………. Matr. e anno di iscr………………… Firma…………….

1. Siano \( U \) e \( W_h \) i sottospazi vettoriali di \( \mathbb{R}^4 \) così definiti:
   • \( U : \begin{cases} x-t=0 \\ y+z+t=0 \end{cases} \)
   • \( W_h = L((h,0,1,1),(1,h,0,1)) \), con \( h \in \mathbb{R} \).
   1. Dire per quali valori di \( h \in \mathbb{R} \) risulta \( U + W_h = \mathbb{R}^4 \).
   2. Dire per quali valori di \( h \in \mathbb{R} \) risulta \( U \cap W_h = \{0\} \).
   3. Determinare una base del sottospazio \( U + W_h \), quando \( h = -1 \).
2. Si consideri l’endomorfismo di \( \mathbb{R}^3 \) dato da: \( F_h(x,y,z) = (x+y-z, hx+hy+z, z) \) \(\forall h \in \mathbb{R} \).
   1. Dire per quali valori di \( h \in \mathbb{R} \) lo scalare 3 è autovalore per \( F_h \).
   2. Si dica, giustificando brevemente le risposte, in quali dei seguenti casi l’endomorfismo \( F_h \) è diagonalizzabile:
      • \( h = 0 \);
      • \( h = 1 \);
      • \( h = -1 \).
3. Fissato un riferimento cartesiano nello spazio, si considerino la retta \( r \) passante per i punti \( A(1,-1,-2) \) e \( B(0,0,-1) \), la retta \( s : \begin{cases} y+z=2 \\ y=1 \end{cases} \) e il punto \( P(1,0,0) \).
   1. Determinare la retta per \( P \) ortogonale sia alla retta \( r \) che alla retta \( s \).
   2. Determinare la retta per \( P \) complanare sia con la retta \( r \) che con la retta \( s \).
   3. Rappresentare il piano contenente la retta \( r \) e parallelo alla retta \( s \).
   4. Esistono piani contenenti la retta \( r \) ed ortogonali alla retta \( s \)? Giustificare la risposta da un punto di vista geometrico.

Riportare sull’altra pagina un breve svolgimento degli esercizi 1a), 2a) e 3a).