Paniere risposte aperte Teoria delle strutture

Spiegare il comportamento di materiali NRT

In questi materiali, la tensione normale può essere esclusivamente di compressione.

Il legame costitutivo ideale viene schematizzato come segue: epsilon<0 si ha un comportamento elastico-lineare (sigma=E*epsilon). Per epsilon>0 la tensione è nulla (sigma=0), indicando che il materiale fessura immediatamente e non contribuisce più alla resistenza.

A differenza dei materiali duttili, nei materiali NRT la resistenza a compressione è notevolmente superiore, spesso 10–20 volte quella a trazione.

Meccanismo di rottura

Il collasso è governato dalla meccanica della frattura. La presenza di microfessure interne agisce da intensificatore di tensione, portando ad una propagazione rapida e catastrofica delle cricche senza alcun preavviso plastico.

Nello studio delle sezioni NRT, come un concio di muratura di spessore, il parametro guida è l'eccentricità (e=|M|/N).

La crisi di stabilità si valuta analizzando il luogo dei centri di pressione (nocciolo centrale d’inerzia).

L'equilibrio della sezione è garantito finché la risultante dei carichi è applicata con una eccentricità inferiore alla metà dello spessore della muratura t/2.

La condizione di equilibrio è e<t/2, sostituendo la definizione di e, si ha che la condizione di equilibrio deve essere: |M|<=Nt/2 con M=Momento flettente limite.

La condizione limite, cioè e=t/2, porta alla formazione di una cerniera sul lembo della sezione. Questa cerniera è di tipo non plastico e consente rotazioni relative solo nel verso che tende ad aprirsi la fessura. Le cerniere dipendono dai gradi di iperstaticità alla rotazione del sistema.

Per |M|>Nt/2 non può essere soddisfatto l’equilibrio del sistema, al quale può associarsi un campo di spostamenti.

Si studia quindi un meccanismo cinematicamente ammissibile e poi si verifica la stabilità della struttura, verifica all’eccentricità.

Ad ogni meccanismo cinematicamente ammissibile si trova un moltiplicatore lambda associato alle condizioni di equilibrio; al meccanismo di collasso è associato il minimo tra tutti i lambdacin.

Il collasso non c’è se tutti i carichi applicati possono essere equilibrati senza tensioni di trazione.

La resistenza non è governata dal materiale integro, ma dalla presenza di zone fessurate che annullano la capacità resistente a trazione.

Spiegare le principali caratteristiche di materiali NRT

I materiali NRT, muratura o cls, sono caratterizzati da un'elevata resistenza a compressione contrapposta a una resistenza a trazione estremamente bassa, incerta o del tutto nulla. In questi materiali, la tensione normale può essere esclusivamente di compressione.

Il legame costitutivo ideale viene schematizzato come segue: epsilon<0 si ha un comportamento elastico-lineare (sigma=E*epsilon). Per epsilon>0 la tensione è nulla (sigma=0), indicando che il materiale fessura immediatamente e non contribuisce più alla resistenza.

2. Meccanismo di crisi e risposta meccanica

La crisi in un elemento NRT non avviene semplicemente quando un calcolo elastico mostra tensione di trazione, ma quando non esiste alcuno stato di tensione interna in equilibrio con i carichi che sia privo di trazioni.

Le caratteristiche salienti del comportamento sono:

• Asimmetria di resistenza: La compressione può essere sopportata molto bene, spesso 10–20 volte più della trazione, mentre la trazione causa fessurazione immediata.
• Rottura fragile: Mancando la fase di plasticizzazione, la rottura è improvvisa e catastrofica, dominata dalla meccanica della frattura e dalla rapida propagazione delle cricche.
• Assenza di ridistribuzione: Il materiale non ha capacità di adattamento interno; una volta raggiunta la fessurazione, la zona tesa smette di contribuire alla resistenza.

Nello studio delle sezioni NRT, come un concio di muratura di spessore, il parametro guida è l'eccentricità.

• Resistenza a compressione infinita: L'equilibrio è possibile finché la risultante cade nella sezione, ovvero e<0t/2. Quando e=t/2, si raggiunge la condizione limite con la formazione di una cerniera monolatera, non plastica, sul lembo della sezione. Questa cerniera consente rotazioni relative solo nel verso che apre la fessura, riducendo il grado di vincolo della struttura.
• Resistenza a compressione finita: In realtà, l'eccentricità massima è inferiore a t/2 poiché è necessaria un'area compressa di ampiezza x per equilibrare. La relazione è: e=t/2-N/2*B*alfa*Fm.

4. Non linearità strutturale e stabilità globale

Un concetto avanzato è la non linearità strutturale: anche se il materiale fosse elastico in compressione, la struttura risponde in modo non lineare perché le zone fessurate annullano la propria capacità resistente, modificando dinamicamente la geometria della sezione reagente.

Data l'incapacità di resistere alla trazione, l'ingegneria adotta approcci specifici:

• Progettazione per forma: Uso di archi, volte e cupole che lavorano prevalentemente per stati compressivi.
• Materiali composti: Integrazione con elementi duttili, es. acciaio nel calcestruzzo armato, per assorbire le trazioni.
• Verifiche agli Stati Limite: Monitoraggio costante della fessurazione per garantire durabilità e stabilità.

Illustrare il metodo omega convenzionale e sperimentale

Il metodo omega rappresenta l'approccio più utilizzato nell'ingegneria strutturale per la verifica di elementi compressi.

Un'asta soggetta a uno sforzo normale può fallire per due motivi distinti:

• 1 - Rottura per schiacciamento: Per superamento della tensione ammissibile (sigma amm), tipico delle travi “tozze”.
• 2 - Perdita di stabilità dell'equilibrio: Sbandamento laterale improvviso dovuto al raggiungimento del carico critico di Eulero (Pcr), tipico delle travi “snelle”.

Il metodo omega unifica queste due verifiche in un'unica espressione analitica, evitando di dover studiare separatamente i due fenomeni.

Il parametro cardine è la snellezza lambda.

Il comportamento dell'asta dipende dalla sua snellezza (L_0/RO), definita come il rapporto tra la lunghezza libera di inflessione L_0, che dipende dai vincoli: cerniera, incastro, ecc., e il raggio d'inerzia ro, che dipende dalla sezione della trave.

All'aumentare di lambda, il carico critico diminuisce drasticamente e le piccole imperfezioni geometriche diventano pericolose.

Per garantire la sicurezza, non basta che la tensione d'esercizio sigmaex sia inferiore alla tensione critica sigmacr, ma occorre considerare un coefficiente di sicurezza variabile, che cresce al crescere della snellezza per tutelarci dalle incertezze.

La condizione di sicurezza viene quindi impostata come: sigmaex=N/A<=sigmacr(lambda)/eta(lambda).

Il sigmacr=Pcr/A deriva dal problema di instabilità di Eulero che definisce il carico critico come Pcr=pigreco²EJ/L0².

Introducendo il coefficiente omega(lambda), definito come il rapporto tra la tensione ammissibile del materiale e la tensione critica ridotta dal fattore di sicurezza, si ottiene: omega(lambda)=eta(lambda)*sigma amm/sigmacr(lambda) >=1.

La verifica si riduce alla formula finale: sigmaid=omegaN/A<=sigmaamm.

In pratica, il coefficiente omega agisce come un moltiplicatore del carico, o un riduttore della resistenza, che “penalizza” la sezione in base alla sua propensione allo sbandamento.

I processi del progetto

1. Analisi dei vincoli: Determinazione di L_0, es. usando la formula di Newmark per casi complessi.
2. Calcolo della snellezza: Individuazione del massimo, basato sul momento d'inerzia minimo, poiché la trave sbanda sempre nel piano più debole.
3. Tabella di consultazione: In base al materiale, acciaio, legno, cemento, e al tipo di sezione, si estrae il valore di omega dalle tabelle normative, es. CNR-UNI.
4. Confronto finale: Si verifica che la tensione “amplificata” resta entro i limiti di sicurezza.

Spiegare il potenziale plastico associato, flusso plastico associato e funzione di snervamento

Si parla di flusso plastico associato quando la funzione di snervamento, che definisce il limite elastico del materiale nello spazio delle tensioni, coincide con il potenziale plastico. In tal caso si ha = e la legge di flusso plastico deriva direttamente dalla geometria della superficie di snervamento.

Alla base della formulazione vi è il postulato di stabilità di Drucker, secondo cui il lavoro compiuto dalle tensioni sulle deformazioni plastiche incrementali deve essere sempre non negativo, garantendo la stabilità termodinamica del materiale.

Da questo principio discende la legge di normalità, secondo cui l’incremento di deformazione plastica è normale alla superficie di snervamento nello spazio degli sforzi.

Matematicamente: ∂= ∂.

Dove è il moltiplicatore plastico, uno scalare non negativo che controlla l’intensità del flusso plastico, mentre il gradiente della funzione di snervamento individua la direzione del flusso.

Il significato fisico è che, se la superficie di snervamento è convessa, il materiale evolve plasticamente nella direzione che massimizza la dissipazione energetica per lo stato di sforzo considerato.

Dal punto di vista applicativo, il potenziale plastico associato è particolarmente efficace nella modellazione dei metalli duttili, ad esempio nei criteri di Von Mises e di Tresca, dove la regola di normalità descrive bene i risultati sperimentali.

Un ulteriore vantaggio è di tipo computazionale: la formulazione associata conduce a matrici di rigidezza tangenziale simmetriche, semplificando l’implementazione nei metodi numerici come gli elementi finiti.

Tuttavia, per materiali attritivi o granulari, come terreni e calcestruzzo, l’ipotesi associata può produrre previsioni irrealistiche di dilatanza.

In questi casi si utilizzano potenziali plastici non associati, in cui la funzione di flusso differisce dalla funzione di snervamento.

In sintesi, il potenziale plastico associato rappresenta una formulazione teoricamente elegante, termodinamicamente consistente e numericamente conveniente, che costituisce il riferimento fondamentale nella modellazione della plasticità dei materiali duttili.

Impostare il problema di Eulero facendo riferimento ad una trave vincolata con cerniera e carrello

In dettaglio: mettere in equilibrio la configurazione deformata, linearizzata, ricavare l'equazione differenziale.

Si introduce una coordinata lungo l’asse indeformato e uno spostamento trasversale ε ∈ [0, ] assumendo piccole deformazioni (linearizzazione geometrica).

La curvatura vale ″(), ≁ () e il legame costitutivo fornisce: ″() = −().

Nella configurazione deformata, il carico (), pur essendo assiale rispetto all’asse iniziale, produce un momento flettente addizionale pari a -Δ.

L’equilibrio dei momenti sulla generica sezione fornisce: () + () = 0.

Sostituendo il legame costitutivo si ottiene l’equazione differenziale di Eulero, linearizzata: ″() + () = 0.

Condizioni al contorno

• Spostamento nullo agli estremi: (0) = 0, () = 0.
• Momento nullo, vincoli a cerniera/carrello: ″ ″=0 ⇒ (0) = ()=0.

Ponendo ″² =, l’equazione diventa: ²+ =0.

Con soluzione generale: () = sin⁡() + cos⁡().

Applicando le condizioni:

• (0) = 0 ⇒ =0.
• () = 0 ⇒ sin⁡()=0 ⇒ =.

Si ottiene un problema agli autovalori, con autovalori: ^{2 2}=, = 1,2, …².

Il più piccolo valore: ²= ² è il carico critico di Eulero.

La perdita di stabilità coincide con l’esistenza di soluzioni non banali dell’equazione differenziale omogenea, trasformando il problema di equilibrio in un problema spettrale.

Analizzare il problema di Eulero facendo riferimento ad una trave vincolata con cerniera e carrello

Si ricorda che l'equazione differenziale ottenuta dall'equilibrio è pari a: v''(z) + k² v(z) = 0, dove k² = P/EJ.

Ricavare il carico critico, i carichi di diramazione e le configurazioni sbandate.

Nel problema di instabilità elastica alla Eulero per una trave snella di lunghezza, vincolata con cerniera in A e carrello in B, l’equilibrio sotto carico assiale è governato dall’equazione differenziale lineare con ″ ^{2 2}()+() = 0, = () =.

La soluzione generale è una combinazione armonica cos⁡() + sin⁡(), () = 0, che ammette sempre la soluzione banale corrispondente alla configurazione non sbandata, valida per qualunque valore del carico.

L’insorgere dell’instabilità è legato all’esistenza di soluzioni non banali, che si ottengono imponendo le condizioni al contorno: (0) = 0 e () = 0.

La prima impone = 0, mentre la seconda conduce alla condizione sin⁡() = 0, da cui = ∈ ℕ.

Si ottiene così una famiglia discreta di carichi di diramazione: ^{2 2}= .²

Tra questi valori, assume un ruolo fondamentale il più piccolo: il carico critico di Eulero è infatti il minimo valore di per cui la configurazione rettilinea perde stabilità, corrispondente al primo modo, cioè = 1, ²= .²

Per ciascun valore, la trave può assumere una configurazione sbandata descritta da: ()= sin⁡ (),² che rappresenta un modo proprio di instabilità.

Tali forme individuano un’infinità di configurazioni possibili, caratterizzate da ampiezza arbitraria, evidenziando come il problema lineare determini unicamente la forma della deformata, ma non la sua entità.

Analizzare il problema di Eulero

In dettaglio: spiegare carico critico, carichi di diramazione e configurazioni sbandate, illustrando il loro significato fisico e spiegando la rilevanza ingegneristica dei risultati ottenuti.

Il problema di Eulero costituisce il fondamento della teoria dell’instabilità elastica e descrive il comportamento di aste snelle soggette a compressione assiale.

Esso introduce un cambio di paradigma fondamentale: il collasso strutturale non è governato solo dalla resistenza del materiale, ma dalla stabilità dell’equilibrio.

In altre parole, una struttura può fallire non perché “si rompe”, ma perché perde la sua configurazione iniziale.

Per un’asta ideale, perfettamente rettilinea ed elastica, il carico critico è: Pcr=pigreco²EI/(kL).

Tale valore rappresenta un carico di diramazione: al suo raggiungimento, la configurazione rettilinea, equilibrio fondamentale, biforca in nuove configurazioni di equilibrio, dette configurazioni sbandate, descritte da modi sinusoidali.

Fisicamente, questo implica che perturbazioni infinitesime, inevitabili nella realtà, portano l’asta a deviare lateralmente.

Dal punto di vista energetico, la configurazione rettilinea è stabile per < =, indifferente per e> instabile per, con conseguente evoluzione spontanea verso una forma deformata.

Il problema di Eulero evidenzia il fatto che non è la tensione a governare il collasso, ma la geometria.

Questo emerge chiaramente introducendo i parametri chiave della progettazione:

• Snellezza: ( ): 0=. Essa misura il rapporto tra lunghezza efficace e rigidezza geometrica. A elevate snellezze, l’asta collassa per instabilità prima di raggiungere la tensione di snervamento.
• Tensione critica: ( ): ²= ². La resistenza dipende esclusivamente da e dalla snellezza, non dalla resistenza del materiale.

Poiché il buckling è improvviso e catastrofico, si adottano criteri progettuali più cautelativi rispetto al caso di semplice snervamento, cioè dei coefficienti di sicurezza.

In pratica, nessun elemento compresso può essere progettato senza verifica di instabilità.

In conclusione, il contributo di Eulero dimostra che, nelle strutture snelle, la stabilità geometrica domina sulla resistenza del materiale, rendendo il problema dell’instabilità uno dei cardini imprescindibili dell’ingegneria strutturale moderna.

Considerare un oscillatore semplice smorzato soggetto ad accelerazione impressa

Analizzare la sua risposta, in dettaglio: spiegare il concetto di spettro di risposta elastico degli spostamenti Sde(T,ν); illustrare la sua applicazione nel valutare la massima forza che gli elementi elastici subiscono durante il moto, Fel_max, commentando la rilevanza progettuale dei risultati ottenuti.

Per un oscillatore semplice smorzato soggetto ad accelerazione impressa, il sistema non è eccitato da una forza esterna diretta, ma dal moto del vincolo, tipicamente il suolo durante un sisma.

Indicando con s() lo spostamento del supporto e con lo spostamento relativo della massa rispetto al vincolo, l’equazione del moto diventa: ẍ()̈+() + = − sduepunti().

Il termine a secondo membro mostra che l’accelerazione impressa agisce come una forzante inerziale equivalente.

La risposta del sistema dipende quindi sia dalle caratteristiche del moto imposto sia dalle proprietà dinamiche dell’oscillatore: periodo naturale e smorzamento.

Per descrivere in modo sintetico la massima risposta di una famiglia di oscillatori si introduce lo spettro di risposta elastico degli spostamenti: ( , )=max|x(t)|.

Esso rappresenta il massimo valore assoluto dello spostamento relativo elastico sviluppato da un oscillatore lineare con periodo e fattore di