Uno numero primo

Un tema che fa discutere:

La primalità del numero uno 1

di Guido Carolla

Con questa breve nota si vuole affrontare un argomento controverso, intorno al quale la comunità matematica è sempre rimasta in bilico: se considerare, o meno, primo il numero 1.

Nella “Teoria dei numeri”, sulla primalità del numero 1, si possono riscontrare più posizioni:

innanzi tutto, tenendo presente che un qualunque numero naturale ha infinite fattorizzazioni, lo si può moltiplicare quante volte si vuole per 1; in pratica, non considerando i fattori 1 nella fattorizzazione, è questa una delle ragioni per cui si preferisce affermare che 1 non è un numero primo, anche se soddisferebbe alla definizione: “è divisibile solo per se stesso e per 1”.

Tanto per citare qualche testimonianza, mi rimetto al parere del ricercatore di fisica matematica, Andrew Hodges [1] che nel suo libro Il curioso dei numeri, a pag. 19 così recita: “I numeri primi formano una successione che inizia con 2, 3, 5, 7,… L’1 non viene considerato primo …”, perché considerando l’1 numero primo, è noto che verrebbe disatteso il teorema fondamentale dell’aritmetica che dice: ” La scomposizione in fattori primi di un numero naturale è unica, a meno dell'ordine dei fattori.”

Si sa infatti che ogni numero naturale è caratterizzato dai numeri primi di cui è composto. Es.: ⇒

924 = 2·2·3·7·11 La sequenza (2,2,3,7,11) caratterizza il numero 924.

Se il numero 1 potesse far parte delle fattorizzazioni, non sarebbe più vera l’unicità: ad esempio

924 = 2·2·3·7·11 e 924 = 1·2·2·3·7·11

2

mentre 924 = 2 ·3·7·11 è una fattorizzazione equivalente alla prima e non alla fattorizzazione equivalente alla seconda o alla fattorizzazione infinita, visto che 1 può essere moltiplicato infinite volte.

Hodges, a pag. 21, così continua: “Si potrebbe sostenere che l’1 potrebbe essere considerato un numero primo, dal momento che non può essere scomposto. … si potrebbe usare la parola “primo” in modo da includervi l’1, ma in tal caso il teorema fondamentale dell’aritmetica affermerebbe che ogni numero ha una fattorizzazione unica in numeri primi diversi da 1. È semplicemente per una questione di comodità verbale che i matematici moderni hanno scelto di definire il numero primo nel modo indicato.”

Ma, allora evidentemente è solo, come si vedrà anche più avanti, una questione “banale”?

Comunque sia, di essa