Luoghi geometrici

Storia arte

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Appunto contenente la definizione di luogo geometrico, con esempi di equazione di un luogo geometrico.

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Sintesi

In questo appunto parleremo di luoghi geometrici. Vedremo prima la definizione "grafica" per poi passare a quella algebrica e capire che cosa rappresenta l'equazione di un luogo.

Luoghi geometrici

Un luogo geometrico è un insieme di punti nel piano che soddisfa una certa proprietà. La proprietà è nota nel momento in cui si descrive il luogo. Facciamo alcuni esempi noti di luoghi geometrici:

la circonferenza è un luogo geometrico: è l'insieme dei punti del piano equidistanti da un punto fisso (detto centro) e la distanza fissa è detta raggio;

la parabola è un luogo geometrico: è l'insieme dei punti del piano equidistanti da un punto fisso (detto fuoco) e una retta (chiamata direttrice).

Questi esempi proposti sono solamente alcuni dei tantissimi esempi di luoghi geometrici che si possono fare. Basta trovare una proprietà comune a tutti i punti in un insieme... per descrivere un luogo geometrico!

Equazione di un luogo geometrico

D'ora in poi supponiamo che quando si parla di punti del piano ci si riferisce ad un piano specifico: il piano cartesiano.
Esso è costituito da due assi, l'asse orizzontale

[math] x [/math]

e l'asse verticale

[math] y [/math]

. Data un'equazione, è possibile definire il luogo associato a tale equazione come l'insieme dei punti che soddisfano l'equazione del luogo.
Consideriamo, ad esempio, l'equazione:

[math] x+2y-3 = 0 [/math]

Tale equazione va interpretata come: tutti i punti aventi coordinate

[math] (x, y) [/math]

tali che

[math] x+2y-3=0 [/math]

fanno parte di tale luogo.
Ad esempio

[math] (1, 1) [/math]

fa parte del luogo, perché

[math] 1 + 2 \cdot 1 - 3 = 0 [/math]

, ma

[math] (0, 1) [/math]

non fa parte del luogo

[math] 0 + 2 \cdot 1 - 3 \neq 0 [/math]

, diversamente dal punto precedente o, da, per esempio, il punto

[math] (3, 0) [/math]

.
Si può dimostrare che il luogo proposto è una retta del piano, ma non ce ne occuperemo in questo appunto.
Facciamo un ulteriore esempio:

[math] x^2 + y^2 = 9 [/math]

Il luogo dei punti che soddisfano questa equazione è una circonferenza. Lo si può dedurre dal fatto che sommare i quadrati delle coordinate è equivalente (per il Teorema di Pitagora) a calcolare (il quadrato) della distanza dall'origine di un generico punto facente parte della circonferenza.
Inoltre, siccome

[math] 3^2 = 9 [/math]

, la circonferenza ha raggio fissato pari a

[math] 3 [/math]

.
Esistono luoghi ben più complicati degli esempi proposti in questi paragrafi, e un esempio è fornito dall'allegato sotto.

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