Turbomachinery B

TURBOMACHINERY:

STRESS ON CONTINUUM BODIES

Consideriamo un volume di controllo, delimitato dalla superficie S, chiamiamo "stress" in un punto della superficie relativa alla sup infinitesima ds:

\[\bar{T}_n\] = \[\frac{F}{A}\]

\[\bar{n}\] = normale a ds (sempre uscente dalla superficie) \[\bar{n}^0\] > 0

- Considerando 3 generiche direzioni) avremo: \[\bar{T}_n\] = \[ \sum \bar{T}_i: \sigma_{ij} (\bar{n})\] (Cauchy tetraedo)

* CASO 1: \[\bar{T}_n\] = opp\[\bar{n}\] _{FLUIDO A RIPOSO*} (no velocità): _{pressione idrostatica} pu spingere verso la superficie ma \[\bar{n}\] è uscente da S. Qui \[\bar{T}_n\] (stress) è opposto a \[\bar{n}\] CASO 2: "FLUIDO NON A RIPOSO" Possiamo avere 2 zone:- Se la velocità (gradiente) è basso consideriamo fluido a riposo (mov) - Se il gradiente di v è alto, lo stress è dato da:

\[\bar{T}_n\] = opp\[\bar{n}\] + \[\bar{tr}_n\]_{viscous stress} dato dalla viscosità

\[\bar{tr}_n\] = \[\bar{\zeta} \cdot \bar{n}\]

_{APPROCCIO LAGRANGIANO: (O CONTROLLO DI MASSA)} ci concentriamo su una massa e seguiamo il suo movimento, con il volume e variabile: "posizione iniziale" \[\phi^{t}_2 ) (\bar{r}_0,t)\] difficvile usare (trattiamo moti complessi) peniente "volontà scalare" -> useremo "approccio ["] euleriano" _{APPROCCIO EULERIANO: (O VOLUME DI CONTROLLO)} ci concentriamo su un volume di controllo e vediamo cosa succede al suo interno se la massa sarà variabile: \[\phi^{t} = [\phi(r_0,t)] \to ("dipende dal punto dello spazio che stiamo considerando è deve [dividere] \[\frac{d\phi}{dt} = \frac{\partial \phi}{\partial t} + [ \vec{V} \nabla \phi^{t}(r_0,t)] + \[\nabla \phi^{t}^2 \overline{3X}\] \] dipende direttamente da \[d X \frac{\phi^{t}^0}{ \partial x } + \frac{\phi^2}{\partial x }\] \[\nabla \phi ( t )\]

densità _{della spanta} di "stato stazionario" _{TEREOREA DEL TRASPORTO O DI REYNOLDS} Permette di passare dall'approccio lagranquiano a euleriano e ci permette di capire come una generica puntata cambia quando il volume "si muove in un sistema!" - Immaginiamo che il volume \[\nu_p\] sia fisso ([\[\nu_{p}\] "completamente variabili") - Il volume si muove poco o poco và fuori dalla sua solita posizione = \[\nu_{p}(t=t_0)\]

1. _{*Se e t=0 (istante \[\nu_{p}\]):} fuori dal suo volume .
\[\nu_p\] = \[\nu ( t = t_0 )\] ul

\[ \int_{\nu_p} p d \nu = \int \[\phi du ={ \int * (n) \[\phi du) = 0 \] - \[(*=*) \cdot)\]

Turbo Machinery:

Stress on Continuum Bodies

Consideriamo un volume di controllo, definito dalla superficie S, chiamiamo "stress" in un punto della superficie relativo alla sup infinitesima ds:

\[\bar{T}_n = \frac{F}{A}\]

\[\bar{n} = \text{normale a ds}\]

(sempre uscente da superficie)

\[\bar{n} > 0\]

\[\bar{T}_n\] = considerando 3 generiche direzioni:

a treno:

\[\bar{T}_n = \Sigma_i \bar{c}_i \cdot \bar{T}_i (A)\]

(Cauchy tetraedo)

Cas_o1: \[\bar{T}_n = -p\bar{n}\]

Fluido a riposo

(no velocità)

Pressione idrostatica

Cas_o2: Fluido non a riposo

- Possiamo avere 2 zone:

• - Se la velocità (gradiente) è basso, consideriamo il fluido a riposo (nov)
• - Se il gradiente di v è alto, lo stress è dato da:

\[\bar{T}_n = -p\bar{n} + \bar{\tau}_n \]

Viscous stress

\[\bar{\tau}_n = \bar{\tau} \cdot \bar{n} \]

dato dalla viscosità

Approccio Lagrangiano: (o controllo di massa)

Ci concentriamo su una massa e seguiamo il suo movimento, con il volume e variabile:

funzione integrale

funzione scalare

posizione \(={\phi} (r_0, t)\)

tempo

non usato in turbomacchine difficile usare (trattiamo moti complessi)

usiamo l'approccio \(\rightarrow\) useremo l'approccio

euleriano

Approccio Euleriano: (o volume di controllo)

Ci concentriamo su un volume di controllo e vediamo cosa succede al suo interno, con la massa sarà variabile:

\[ \phi = \phi (r_0, t) = \left[ \frac{\phi (r_0, t)}{t} \right] \]

\[ \frac{d\phi}{dt} = \frac{\partial \phi}{\partial t} + \overbar{V} \cdot grad(\phi) = \frac{D \phi}{D t} \]

termine avvettivo, descrive il trasporto del fluido

Teoria del trasporto di Reynolds

Permette di passare da approccio Lagrangiano e Euleriano e ci permette di capire come una quantità φ cambia quando il volume si muove in un sistema!

- Si manteniamo il volume ΔP \[X u\] \to \text{(v compresso turbo non variato v\')\] volume di.

volume di\

- Se t = to \text{(istante iniziale):} vol = \[\int ρ_\[u\]^\[ \text{φ dΛ\] utilizzare il sistema di\] = VL\]

Risultati dei teorema:

Il teorema ci permette di descrivere l'evoluzione temporale delle proprie del f