TFA Matematica e Fisica (ebook)

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Il Tirocinio Formativo Attivo per Matematica e Fisica

Classi di concorso A047, A048, A049

Sei prove complete

360 quesiti svolti e commentati

da

Nicola De Rosa (quesiti di matematica)

Massimo Macchioro (quesiti di fisica)

© Matematicamente.it, 2016

www.matematicamente.it

libri@matematicamente.it

ISBN 9788896354865

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Sommario

• A049 2014/15 .................................................................................................................................................................... 5
• Svolgimento ................................................................................................................................................................ 15
• A048 2014/15 .................................................................................................................................................................. 34
• Svolgimento ................................................................................................................................................................ 44
• A047 2014/15 .................................................................................................................................................................. 64
• Svolgimento ................................................................................................................................................................ 73
• A049 2011/12 .................................................................................................................................................................. 90
• Svolgimento ................................................................................................................................................................ 99
• A048 2011/12 .............................................................................................................................................................. 119
• Svolgimento .............................................................................................................................................................. 129
• A047 2011/12 ................................................................................................................................................................ 155
• Svolgimento .............................................................................................................................................................. 165

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Prova di ammissione al tirocinio formativo attivo

Per la classe di matematica e fisica - A049

Anno Accademico 2014/2015

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A049 2014/15

1. In un piano cartesiano si consideri la trasformazione che ad ogni punto (x, y) associa il punto (3x, −y/3).

Applicando tale trasformazione, l'area di un poligono:

• [A] Resta invariata
• [B] Aumenta
• [C] Diminuisce
• [D] Può restare invariata, aumentare o diminuire a seconda di quale sia il poligono

2. Si considerino: l'insieme dei numeri razionali, l'insieme dei numeri irrazionali, l'insieme dei numeri reali. Di questi tre insiemi si può dire che:

• [A] Uno solo è non numerabile
• [B] Hanno, a due a due, cardinalità diverse
• [C] Hanno tutti la stessa cardinalità
• [D] Uno solo è numerabile

3. Il valor medio della funzione y = x² nell’intervallo [−1; 1] è:

• [A] 0
• [B] 1/3
• [C] 1/2
• [D] 2/3

4. In un triangolo rettangolo, la mediana e l’altezza relative all’ipotenusa misurano rispettivamente 50 cm e 48 cm. L’area del triangolo è:

• [A] 4800 cm²
• [B] 2400 cm²
• [C] 1200 cm²
• [D] 600 cm²

5. Si lanciano due dadi equi. La probabilità che il minimo fra i due numeri ottenuti sia 1 è:

• [A] 1/6
• [B] 1/3
• [C] 11/36
• [D] 7/36

6. Quale delle seguenti funzioni, reali di variabile reale, è periodica?

   

  

  

x x x 1

cos x

1 cos e cos e

cos 1 e

• [A]
• [B]
• [C]
• [D]

e 1

7. Per dimostrare che la frase “se un poligono è inscrivibile o circoscrivibile a un cerchio, allora ha centro di simmetria” è FALSA, dobbiamo:

• [A] Trovare due poligoni, il primo inscrivibile ma senza centro di simmetria, il secondo circoscrivibile ma senza centro di simmetria
• [B] Dimostrare che, se un poligono è inscrivibile o circoscrivibile, allora non ha centro di simmetria
• [C] Dimostrare che, se un poligono non è né inscrivibile né circoscrivibile, allora non ha centro di simmetria
• [D] Trovare un poligono inscrivibile ma senza centro di simmetria, oppure un poligono circoscrivibile ma senza centro di simmetria

8. Kolmogorov formulò la definizione assiomatica del concetto di probabilità nel:

• [A] 1853
• [B] 1893
• [C] 1933
• [D] 1963

9. La media aritmetica dei raggi di 100 dischetti, non tutti uguali, è R. La media aritmetica delle superfici dei dischetti:

• [A] è uguale a πR²
• [B] è minore di πR²
• [C] è maggiore di πR²
• [D] può essere sia maggiore, sia minore, sia uguale a πR²

10. Congiungendo i punti medi dei lati di un qualunque quadrilatero si ottiene:

• [A] Un parallelogramma ma non necessariamente un rettangolo
• [B] Un rettangolo
• [C] Un quadrangolo in generale senza lati paralleli
• [D] Un trapezio ma non necessariamente un parallelogramma

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11. In un circuito elettrico un collegamento in parallelo è realizzato con due elementi, in modo che la corrente passa per il circuito se passa per almeno uno dei due elementi. Se la probabilità di funzionamento di uno dei due elementi è 80% e quella dell'altro è 90%, la probabilità che la corrente circoli è:

• [A] 98%
• [B] 90%
• [C] 80%
• [D] 72% 2

12. Una regione è formata da due province H e K. In H il terreno pianeggiante è di 1000 km², che corrispondono al 10% della superficie della provincia; in K il terreno pianeggiante è di 2000 km², che corrispondono al 40% della superficie della provincia. La percentuale della superficie pianeggiante in tutta la regione è:

• [A] 20%
• [B] 25%
• [C] 30%
• [D] 50%

13. Quale delle seguenti uguaglianze è vera per tutti gli x per cui è definito il primo membro dell’uguaglianza stessa?

  

   



π

  

sin arcsin x x arcsin sin x 2 x

• [A]
• [B]

  

   



π

  

arcsin sin x x sin arcsin x 2 x

• [C]
• [D]

14. In R³ la distanza tra l’asse z e la retta r intersezione dei piani di equazione 3x + 4y + 12 = 0 e z = 0 è:

• [A] 2,4
• [B] 4,8
• [C] 5
• [D] 6

15. Un prodotto si vende in un negozio ad un certo prezzo, e si vende on-line con il 12% di sconto. Se il prezzo in negozio aumenta del 10%, mentre quello on-line rimane invariato, lo sconto applicato ora ai clienti on-line rispetto al nuovo prezzo in negozio è:

• [A] Maggiore del 22%
• [B] Maggiore del 20% ma minore del 22%
• [C] Il 22%
• [D] Il 20%

16. Una retta r è tangente al grafico della funzione y = ln x nel punto di ascissa x₀. La retta tangente al grafico della funzione y = e^x nel punto di ascissa x₀ è parallela ad r quando x₀ è uguale a:

• [A] 1
• [B] 1/x
• [C] 1/ln x
• [D] ln x

17. È dato un insieme finito H; moltiplicando per 6 il numero dei sottoinsiemi di H con 2 elementi si trova il numero dei sottoinsiemi di H con 4 elementi. Che cosa si può dedurre?

• [A] Il numero degli elementi di H è compreso fra 12 e 20
• [B] Il numero degli elementi di H è minore di 12
• [C] Il numero degli elementi di H è maggiore di 20
• [D] I dati sono contraddittori, cioè non esiste un insieme H nelle condizioni citate

18. Nello spazio vettoriale R³, tre vettori sono linearmente indipendenti se e solo se:

• [A] I tre vettori generano tutto lo spazio
• [B] Combinando linearmente i tre vettori, con i tre coefficienti uguali a 0, si trova il vettore nullo
• [C] Ogni combinazione lineare dei tre vettori è uguale al vettore nullo
• [D] Nessuno dei 3 vettori è multiplo di uno degli altri 2

19. In un riferimento cartesiano ortogonale Oxy sia r la retta di equazione y = mx, con m diverso da 0, e sia s la retta di equazione y = −x. Il coefficiente angolare della retta immagine di r nella simmetria assiale che ha per asse la retta s è:

• [A] m
• [B] 1 - m
• [C] -1/m
• [D] 1/m

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20. {x, y, z}∈ R³ | x² − z² ≤ 4 e 1 ≤ y ≤ 2. Il volume del solido è:

• [A] π/3
• [B] π/4
• [C] 12π
• [D] 48π

21. Malthus riteneva che la popolazione umana, in presenza di risorse illimitate, raddoppiasse ogni 25 anni. Indicando con y la popolazione e misurando il tempo t in anni, quale delle seguenti equazioni descrive meglio questo tipo di evoluzione?

• [A] dy/dt = y/100
• [B] dy/dt = y/25
• [C] dy/dt = (ln 2)y/25
• [D] dy/dt = y/200

22. Sia f : R → R una funzione continua dispari; si consideri l'integrale

I = ∫_−r^r f(x + k) dx

dove r e k sono due numeri reali con r > 0 e k ≠ 0. Allora il valore di I:

• [A] è uguale a 0
• [B] non dipende da k
• [C] è uguale a 2rk
• [D] non dipende da r

23. Sia x² + px + q = 0 (con p e q diversi da 0) un’equazione di secondo grado avente due radici reali. Allora un’equazione che ha come radici i reciproci delle radici di quella data è:

• [A] x² + px + 1/q = 0
• [B] px² + qx + 1 = 0
• [C] x² + x/p + 1/q = 0
• [D] qx² + px + 1 = 0

24. Sia f una funzione reale definita nell’intervallo [a, b], continua e non negativa. Definiamo la funzione S in [a, b] nel modo seguente:

S(x) = ∫_a^x f(t) dt

Quale affermazione non è necessariamente vera?

• [A] S è strettamente crescente, nel senso che se x₁ < x₂ allora S(x₁) < S(x₂)
• [B] S non assume valori negativi in [a, b]
• [C] S(b) = 0 se e solo se f(x) è la funzione nulla
• [D] S è derivabile

25. Si consideri il numero complesso

z = (1 + i)/2

Quale delle seguenti potenze è uguale a z?

• [A] z³
• [B] z⁵
• [C] z⁷
• [D] z⁹

26. Fissato nello spazio tridimensionale un riferimento cartesiano, per quali valori reali di k i tre punti O (0, 0, 0), P (k, 0, −k), Q (−k, 0, −1) sono allineati e a due a due distinti?

• [A] Solo per k = 0
• [B] Solo per k = 1
• [C] Per nessun valore di k
• [D] Per ogni valore di k diverso da 0

27. Per ogni intero positivo n la somma di tutti gli interi compresi tra 7n e 9n, estremi inclusi, è uguale a:

• [A] (9n − 7n)(9n + 7n)/2
• [B] n(9n + 7n)/2
• [C] n(8n)
• [D] n²/16

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28. Un’auto, entrata in una galleria, ne percorre la prima metà in 200 secondi ed esce dall’altro imbocco della galleria dopo 9 minuti. Che cosa si può affermare con certezza sul moto dell’auto dentro la galleria?

• [A] Effettua una sosta nella seconda metà della galleria
• [B] Accelera nella prima metà della galleria mentre decelera nella seconda parte
• [C] Percorre l’intera galleria con accelerazione costante
• [D] Viaggia nella prima parte della galleria con una velocità media maggiore che nella seconda parte

29. Degli studenti determinano la lunghezza d’onda di una radiazione ripetendo 16 volte la misura. La distribuzione dei dati, nell’ipotesi che la si possa assumere gaussiana, ha media aritmetica λ = 532,2 nm e deviazione standard del campione s = 0,4 nm. Qual è l’errore sulla media?

• [A] 0,04 nm
• [B] 0,01 nm
• [C] 0,1 nm
• [D] 0,4 nm

30. Il periodo T di oscillazione di un oscillatore armonico massa molla dipende dal valore m della massa oscillante e dal valore k della costante elastica della molla utilizzata. In base alla sola analisi dimensionale quale tra i seguenti rapporti sarà proporzionale a T?

• [A] m/k
• [B] k/m
• [C] (m/k)^0,5
• [D] (k/m)^0,5

31. Alcuni studenti stanno studiando se l’acqua sia più o meno viscosa dell’olio. Fanno scendere, a partire dalla stessa altezza, uguali masse d’acqua e di olio lungo uno stesso piano inclinato e registrano in quanto tempo le porzioni di liquido raggiungono il fondo del piano. In quale modo gli studenti confrontano la diversa viscosità dei liquidi?

• [A] Confrontando le porzioni dei liquidi che restano aderenti al piano inclinato
• [B] Confrontando le velocità con cui le masse di liquido scendono lungo il piano
• [C] Confrontando come le masse dei liquidi influenzano la velocità di discesa
• [D] Confrontando i tempi con cui le masse di liquido raggiungono il fondo del piano

32. Un vagone ferroviario vuoto di massa m urta contro una motrice di massa M. Si confrontino il modulo della forza esercitata dalla motrice sul vagone, F’, e il modulo F, della forza esercitata dal vagone sulla motrice: risulterà:

• [A] F’ = F
• [B] F’ > F
• [C] F’ < F
• [D] Non si può dire, perché dipende dal rapporto m/M

33. Quale dei seguenti grafici velocità-tempo descrive meglio quello relativo al moto di una pallina che viene lanciata verticalmente in aria e poi ripresa in mano quando ritorna all’altezza da cui è stata lanciata?

• [A] A
• [B] B
• [C] C
• [D] D

34. Un gas reale compie una trasformazione adiabatica. Siano ΔU la variazione di energia interna, Q il calore assorbito e W il lavoro fatto dal gas. Per tale trasformazione che cosa si può affermare?

• [A] ΔU = 0, W = Q
• [B] ΔU = Q, W = 0
• [C] ΔU = -W, Q = 0
• [D] ΔU = -W, ma solo se la trasformazione è reversibile

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35. Si esplora l’effetto fotoelettrico, inviando un fascio di luce di frequenza ν su un elettrodo metallico che è stato caricato negativamente. Ci si accorge che la carica presente sull’elettrodo, pure se illuminato, non tende a diminuire. Quale potrebbe essere la causa del fenomeno?

• [A] Il tempo di illuminamento è troppo breve
• [B] La carica iniziale presente sulla lamina non è sufficientemente grande
• [C] L’intensità del fascio di luce è troppo bassa
• [D] La frequenza ν della luce è troppo bassa

36. Sulla superficie di un liquido vengono generate onde di lunghezza d’onda λ = 1,1 cm. La velocità di propagazione dell’onda è di 20 cm/s. Allora la frequenza con cui vengono generate le onde è circa:

• [A] 0,05 Hz
• [B] 1,1 Hz
• [C] 18 Hz
• [D] 22 Hz

37. Il punto triplo di una sostanza indica lo stato in cui:

• [A] La temperatura della sostanza è il triplo della temperatura critica
• [B] All’equilibrio termico si ha coesistenza solo delle fasi: liquido e vapore
• [C] All’equilibrio termico si ha coesistenza solo delle fasi: vapore e solido
• [D] All’equilibrio termico si ha coesistenza delle fasi: liquido, vapore e solido

38. Con una lente di ingrandimento si vede l’immagine di un oggetto diritta e ingrandita. Che cosa si può dire della posizione dell’oggetto e dell’immagine?