Tesi di laurea Ingegneria Elettronica: Analisi e controllo di sistemi non lineari con applicazione

R

dx secondo la notazione di Newton ed ove f è una funzione

tempo, ẋ = dt n+1 n

continua definita in un sottoinsieme di a valori in .

R R

Il vettore di stato x(t) va pensato come vettore colonna e nel seguito verrà

omessa tale precisazione.

Non è una eccessiva limitazione prendere in considerazione solo equazioni

del tipo (1.1): infatti degli effetti di eventuali ingressi (considerati dati) del

1

sistema dinamico si tiene conto mediante la dipendenza di f dal tempo ed

inoltre un generico sistema di equazioni differenziali è sempre equivalente

ad un sistema del primo ordine del tipo (1.1). Ci occuperemo in seguito

più approfonditamente di tali argomenti, dopo aver introdotto concetti più

basilari.

Lo scopo del nostro lavoro sarà quello di caratterizzare il più possibile

il comportamento del sistema dinamico, mediante lo studio delle proprietà

della equazione che lo descrive, del tipo della (1.1).

1.3 Definizioni di base.

Definizione 1.3.1 Sia data una equazione differenziale del tipo (1.1), che

qui riscriviamo per comodità: n

∈

ẋ = f (x, t) x (1.2)

R

n

→ ⊆

si dice che λ : I con I è una soluzione della (1.2) se vale:

R R ∀ ∈

λ̇(t) = f (λ(t), t) t I (1.3)

1 Si parla in tale caso di sistemi dinamici forzati e la funzione f tiene appunto con-

to anche degli effetti del termine forzante, ovvero dell’ingresso considerato. Si osservi

∗

esplicitamente che data una funzione f (x(t), u(t), t) si può sempre porre f (x(t), t) =

f (x(t), u(t), t), ove u(t) è una funzione che descrive un (particolare) ingresso per un dato

sistema dinamico considerato.

Capitolo 1. Alessandro Bernardini, Analisi e controllo di sistemi non lineari con 11

applicazione ad un robot sottoattuato

Chiaramente il punto (λ(t), t) dovrà restare all’interno dell’insieme di defi-

⊆

nizione della f al variare di t in I R.

Molto spesso interessa la ricerca di una soluzione λ(t) che in un de-

n

∈

terminato istante τ assuma un dato valore ξ . Interessa cioè che

R

sia: λ(τ ) = ξ (1.4)

Questa condizione si chiama condizione iniziale ed il problema della ricer-

ca di una soluzione λ(t) che sia soluzione della equazione differenziale (1.2)

e che verifichi la condizione iniziale prende il nome di problema di Cauchy.

Esistono anche i cosiddetti problemi al contorno, di cui non verrà parlato

in questa sede.

Chiaramente il punto (ξ, τ ) = (λ(τ ), τ ) deve appartenere all’insieme

di definizione della f , come si evince se si considera che debbono essere

soddisfatte le (1.4) e (1.3).

In generale il punto (λ(t), t) dovrà restare all’interno dell’insieme di defi-

nizione della f al variare di t.

Se la f è una funzione continua rispetto a t e Lipschitziana rispetto ad

x nel suo insieme di definizione, si può dimostrare che per ogni problema

di Cauchy esiste una unica soluzione continua λ definita in un aperto

max

− +

]I , I [⊆ che verifica la (1.3) e la condizione iniziale (1.4) e tale che ogni

R

altra soluzione continua dello stesso problema di Cauchy risulta necessaria-

− +

⊆]I

mente definita su un sottointervallo J , I [. In altre parole λ è la

max

soluzione continua più estesa (massima).

Alla luce di quanto detto introduciamo dunque la seguente

n+1

Definizione 1.3.2 Sia dato un aperto D di ed una funzione f (x, t)

R

n

∈

con x definita in D, continua rispetto a t e Lipschitziana rispetto ad x.

R

Allora per ogni punto (ξ, τ ) di D il problema di Cauchy relativo alla equazione

differenziale ẋ = f (x, t) (1.5)

2

con la condizione iniziale λ(τ ) = ξ ammetterà una unica soluzione (mas-

sima) che indicheremo in modo più preciso con la scrittura λ(t; ξ, τ ). In

tal modo si sottolinea che la specifica soluzione del problema di Cauchy è

funzione della condizione iniziale ξ all’istante iniziale τ .

2 Il simbolo λ indica la soluzione cercata del problema di Cauchy in questione, tuttavia

molto spesso si indica la soluzione con x, ossia come lo stesso simbolo della variabile nella

equazione differenziale.

Capitolo 1. Alessandro Bernardini, Analisi e controllo di sistemi non lineari con 12

applicazione ad un robot sottoattuato n

∈

Si ricordi peraltro che una funzione f (x, t), con x si dice Lips-

R

≥

chitziana rispetto ad x se esiste una costante L 0 tale che

||f − ≤ − || ∀ ∈ ∀ ∈

(x , t) f (x , t))|| L||x x x , x D t J (1.6)

1 2 1 2 1 2

×

essendo D J l’insieme di definizione di f . La costante L prende il nome di

costante di Lipschitz.

La dimensione del vettore di stato x specificherà dunque quante sono le

condizioni iniziali da assegnare, essendo chiaramente ξ della stessa dimen-

sione di x: per un sistema di dimensione n occorre dunque specificare n

condizioni iniziali sullo stato al tempo τ per fissare la unica soluzione λ del

problema di Cauchy considerato.

La soluzione generale λ(t; ξ, τ ) si può chiaramente graficare in funzione

del tempo (eventualmente considerando opportune proiezioni se ci troviamo

in spazi a dimensione superiore) ottenendo le curve o i grafici delle varie

soluzioni al variare della condizione iniziale. Tali curve saranno date, al

variare della condizione iniziale, ossia al variare dei valori di ξ e/o di τ , da

n+1 n+1

{(t, ∈ ∈

tutti i punti di individuati dall’insieme λ(t; ξ, τ )) : t I}

R R

essendo I l’insieme di definizione della soluzione λ(t; ξ, τ ), conformemente a

quanto detto nella Definizione 1.3.1.

Molto utile risulta la seguente

Proposizione 1.3.1 (Riduzione a sistemi di primo ordine.) Sia data una

1+νn n

⊆ →

funzione g : D allora il sistema n dimensionale di ordine ν

R R

3

definito da (ν) (ν−1) n

∈

x = g(t, x, ẋ, . . . , x ) x (1.7)

R

è equivalente al sistema di dimensione νn e del primo ordine dato da:

 y

˙ = y

1 2



 y

˙ = y



 2 3



 .. (1.8)

.

 ẏ = y

 ν−1 ν





 y

˙ = g(t, y , y , . . . , y )

 ν 1 2 ν

n

∈

con y , j = 1, . . . , ν, nel senso che:

R

j 4 (ν−1)

• Se λ(t) è soluzione del sistema (1.7), allora (λ(t), λ̇(t), . . . , λ (t))

è soluzione del sistema (1.8) che è un sistema del tipo (1.5).

3 (j)

x indica la derivata j-esima rispetto a t.

4 Ossia se λ(t), sostituita al posto della x nella (1.7) rende identicamente verificata tale

uguaglianza (in un opportuno insieme di definizione).

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applicazione ad un robot sottoattuato

• Se (µ (t), . . . , µ (t)) è soluzione del sistema (1.8), allora µ (t) è soluzione

1 ν 1

del sistema (1.7). ∈

Si osservi che dovrà essere (t, y , . . . , y ) D.

1 ν

Inoltre abbiamo che se una soluzione λ(t) di (1.7) soddisfa alla condizione

iniziale (ν−1)

λ(t ) = x , λ̇(t ) = x , ..., λ (t ) = x (1.9)

0 0 0 1 0 ν−1

allora la soluzione corrispondente di (1.8) verifica la condizione iniziale

µ (t ) = x , µ (t ) = x , ..., µ (t ) = x (1.10)

1 0 0 2 0 1 ν 0 ν−1 n

∈

e viceversa. Il punto (t , x , x , . . . , x ) appartiene a D con x per

R

0 0 1 ν−1 j

−

j = 0, . . . , ν 1. 5

Dimostrazione: Sia λ una soluzione di (1.7), allora si avrà che

(ν) (ν−1)

λ (t) = g(t, λ(t), . . . , λ (t)) (1.11)

Poniamo: (ν−1)

(µ , . . . , µ ) = (λ, . . . , λ )

1 ν

derivando ambo i membri si ottiene:

 µ

˙ = λ̇ = µ

1 2





 µ

˙ = λ̈ = µ

 2 3



 ..

.

 (ν−1)

µ̇ = λ = µ

 ν−1 ν





 (ν)

µ

˙ = λ = g(t, µ (t), . . . , µ (t))

 ν 1 ν

ove nell’ultima eguaglianza si è fatto uso anche della (1.11). Quanto scritto

(ν−1)

significa proprio che (µ , . . . , µ ) = (λ, . . . , λ ) è una soluzione del sis-

1 ν

tema (1.8) e questo era quanto si intendeva dimostrare. Per quanto riguarda

le condizioni iniziali la tesi segue banalmente.

Viceversa, se vale  µ

˙ = µ

1 2



 µ

˙ = µ



 2 3

..

.





 µ

˙ = g(t, µ (t), . . . , µ (t))

 ν 1 ν

5 per ogni t dell’insieme di definizione

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applicazione ad un robot sottoattuato

si osserva che (ν−1)

µ̇ = µ , µ

¨ = µ

˙ = µ , ..., µ = µ (1.12)

1 2 1 2 3 ν

1

e pertanto, derivando ancora una volta e tenendo conto delle equazioni prece-

denti, nonchè del fatto che µ è soluzione del sistema (1.8) si ottiene che

(ν) (ν−1)

µ = µ

˙ = g (t, µ (t), . . . , µ (t)) = g t, µ (t), µ

˙ (t), . . . , µ (t)

ν 1 ν 1 1

1 1

e questo vuol dire che µ (t) è soluzione della (1.7). La tesi circa le condizioni

1

iniziali segue facilmente.

La proposizione risulta cosı̀ completamente dimostrata.

1.4 Sistemi autonomi o tempo invarianti

Nel seguito considereremo sistemi descritti da equazioni differenziali del

tipo: ẋ = f (x) (1.13)

n

∈

detti sistemi autonomi o tempo invarianti, con x (ed f funzione vetto-

R 6

riale, chiaramente). Anche qui, a rigore, x va pensato come vettore colonna .

Questo, da un punto di vista teorico, non è restrittivo.

Vale infatti la seguente

Proposizione 1.4.1 Sia dato un sistema

ẋ = f (x, t) (1.14)

n

∈

con x ed il sistema autonomo

R ( ṡ = 1 (1.15)

ẏ = f (y, s) = g(s, y)

n

∈ ∈

con y e s ed avendo posto per definizione g(s, y) := f (y, s), per

R R

una maggiore chiarezza.

Allora:

• se λ(t) è soluzione di (1.14) si ha che (t, λ(t)) è soluzione del sistema

(1.15).

• se (t, ν(t)) è soluzione di (1.15), allora ν(t) è soluzione di (1.14)

6 Ometteremo in seguito tale precisazione.

Cap