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Topografia

Osservabili e strumenti della topografia

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Cartografia e reti topografiche classiche

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- Livellazione trigonometrica
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- Reti topografiche

Sistemi di riferimento

La necessità di definire un sistema di riferimento è legata al carattere intrinsecamente relativo del concetto di posizione (la posizione è data “rispetto a” qualcosa), definendo il sistema di riferimento si indica rispetto a cosa sono date le coordinate. È necessario definire anche il sistema di coordinate (es. nel piano si possono usare coordinate cartesiane o polari con lo stesso sistema di riferimento). Non è possibile misurare le coordinate, ma solo attraverso delle altre misure si ricavano le coordinate cercate.

Materializzare un sistema di riferimento significa realizzare un catalogo di punti a cui si attribuiscono le coordinate usando le convenzioni che definiscono il sistema di riferimento e un opportuno insieme di misure.

Campo di gravità

La gravità ha una influenza determinante ed evidente su tutti i fenomeni che ci circondano, sugli oggetti, sul nostro stesso modo di muoverci e di percepire l’ambiente. I concetti di orizzontale e verticale sono di natura geometrica (indicano direzioni) ma hanno il loro fondamento in qualche cosa di fisico.

Ne discendono due motivi distinti, ed entrambe importanti, per tenere legati il problema geometrico e quello fisico:

• Fa comodo usare delle coordinate (enti geometrici) che incorporino qualche informazione fisica.
• È conveniente misurare grandezze geometriche che hanno un legame con enti fisici, per esempio.

Si definisce direzione verticale la direzione dell'accelerazione di gravità (somma dell’accelerazione gravitazionale e centrifuga) presa con verso uscente dalla superficie terrestre (quindi con verso opposto). Accelerazione gravitazionale e centrifuga danno origine ad un campo di forze posizionali e conservative che permette di definire:

• Superfici equipotenziali: superfici sulle quali il potenziale è costante.
• Linee di forza: linee in ogni punto tangenti a e ortogonali alle superfici equipotenziali.

Da queste definizioni, dalla pratica deriva che:

• Un filo a piombo materializza la direzione verticale, cioè la direzione della linea di forza.
• La superficie libera di un fluido omogeneo in quiete realizza una porzione di superficie equipotenziale.
• Una superficie equipotenziale coincide con quella che nel linguaggio comune viene chiamata superficie orizzontale.

In ambito geodetico, lo studio del campo della gravità interessa dal punto di vista del posizionamento poiché è di aiuto per la scelta delle coordinate, per fissare un sistema di riferimento e per interpretare le misure topografiche in relazione alla misurazione e alla descrizione geometrica della Terra. La distribuzione delle masse ha una distribuzione non troppo distante da una distribuzione con simmetria sferica, ma un modello sferico è comunque troppo rozzo per qualsiasi applicazione scientifica o tecnica.

La prima causa di scostamento da una distribuzione sferica è l’equilibrio tra gravitazione e forza centrifuga. Con un solido dotato di simmetria assiale è possibile approssimare la forma della Terra molto meglio che con una sfera ma ancora con espressioni semplici - di questo si terrà conto per trovare una conveniente superficie di riferimento.

Coordinata altimetrica

Nella pratica si è soliti utilizzare una coordinata che abbia in certo significato fisico, ma anche una definizione di tipo geometrico più vicino al concetto abituale di coordinata. La quota geopotenziale, essendo solo funzione di è costante lì dove è costante, cioè in corrispondenza delle superfici equipotenziali.

Al fine di determinare una coordinata altimetrica si procede come segue:

• Si sceglie una superficie equipotenziale come superficie di riferimento che prende il nome di Geoide.
• Si definisce una nuova coordinata di quota come la distanza di un punto dal Geoide, misurata sul percorso di una linea di forza: la Quota Ortometrica.

La definizione della quota ortometrica è un ibrido di concetti fisici e geometrici; essa è una distanza da una superficie (concetto geometrico) dove la superficie stessa è una superficie equipotenziale (concetto fisico). Tradizionalmente come superficie di riferimento si è scelta quella passante per la superficie media degli oceani.

Il Geoide è utile per definire le quote ortometriche, ma è una superficie troppo corrugata e non abbastanza nota per definire una terna completa di coordinate. Il giusto compromesso tra semplicità e buona approssimazione si trova con una superficie simile ad una sfera schiacciata.

Si sceglie come superficie di riferimento un ellissoide di rotazione. L’ellissoide si può considerare come una approssimazione geometricamente semplice del Geoide, costruita tenendo conto delle sue dimensioni e del suo schiacciamento.

Ellissoide e geoide

Descrivere il Geoide in funzione dell’ellissoide significa considerare quanto da esso si discosta. L’ondulazione del Geoide è una grandezza che rappresenta quanto il Geoide si discosta dall’ellissoide.

L’angolo compreso tra la direzione della verticale e la normale all’ellissoide prende il nome di angolo di deviazione dalla verticale. Generalmente l’angolo di deviazione è molto piccolo, per questo motivo il vettore deviazione della verticale (la differenza dei due versori) risulta con buona approssimazione ortogonale alla normale all’ellissoide e alla direzione della verticale.

L’ellissoide oggi più usato è quello definito nell’ambito di WGS84 (World Geodetic System 1984). Poiché l’ellissoide è simmetrico, è necessario sapere:

• Dove è posizionato il suo centro.
• Come è orientato il suo asse di rotazione.

La scelta relativa alla soluzione di questo quesito consiste nella scelta di un sistema di riferimento. Si stabilisce quindi che:

• Il centro geometrico dell’ellissoide coincida con il baricentro terrestre.
• L’asse di rotazione dell’ellissoide coincida con l’asse di rotazione terrestre.
• Il piano sia il piano di origine delle rotazioni.

L’ellissoide è bloccato in maniera univoca rispetto al corpo fisico della Terra. È possibile ora definire dei Sistemi di Coordinate:

• Cartesiane globali: l’origine è fissata al centro dell’ellissoide, l’asse Z coincide con l’asse di simmetria e gli assi X ed Y sono arbitrariamente orientati nel piano equatoriale. Le coordinate cartesiane di carattere globale si usano nei calcoli della meccanica celeste, soprattutto per descrivere le orbite dei satelliti artificiali.
• Ellissoidiche: viene definito piano meridiano ogni piano che contiene l’asse di simmetria dell’ellissoide e piano equatoriale il piano che passa per il centro dell’ellissoide ed è ortogonale all’asse di simmetria.
• Cartesiane locali (definite in vari modi).
• Ibride (latitudine e longitudine ellissoidiche, quota ortometrica).

Osservabili

Per osservabili si intendono grandezze per le quali si possono effettuare osservazioni, cioè misure. Tipicamente non sono le informazioni a cui si è interessati (coordinate), ma sono utilizzate per ricavarle. È fondamentale la distinzione tra grandezze osservate (misurate) e grandezze calcolate.

In topografia le osservabili dipendono dai metodi di rilievo. Si misurano diverse grandezze (angoli, distanze, dislivelli...) da cui si ricavano coordinate. Nella topografia tradizionale le osservabili sono:

• Distanze
• Angoli
• Dislivelli

Queste misure sono elaborate per ottenere coordinate. Il procedimento consiste in:

• Definire le osservabili, cioè cosa si misura.
• Esplicitare il loro legame con le grandezze che si vuole determinare (coordinate), cioè le equazioni di osservazione.

Le equazioni così definite sono usate per la stima dei parametri (coordinate) a cui si è interessati.

Distanze

Le distanze sono definite come distanze inclinate tra due punti. Avendo misurato anche gli angoli è possibile effettuare la riduzione alla superficie di riferimento e ricavare le componenti orizzontale e verticale. Solitamente si trattano separatamente le componenti orizzontali e verticali.

I metodi tradizionali per la misura di distanza sono basati sul confronto della distanza da misurare con un campione di lunghezza nota. Nelle applicazioni pratiche la tecnica utilizzata, e quindi il campione di lunghezza, dipende da:

• Distanza da misurare.
• Precisione richiesta.
• Condizioni operative.

Le tecniche di misura di distanza in topografia si possono dividere in:

• Misure dirette (rotella metrica, triplometro, fili e nastri metallici).
• Misure indirette (ad angolo parallattico costante o variabile).
• Misure con distanziometri elettro-ottici (le più usate).

Le tecniche di misura dirette si basano sul confronto di un campione di lunghezza nota con la distanza da misurare. Queste tecniche hanno vantaggi come:

• Semplicità operativa e basso costo.
• Buona precisione.

E svantaggi del tipo:

• Tempo di rilievo elevato.
• Il terreno tra i punti deve essere accessibile e sgombro da ostacoli.

Per le misure indirette si usa un angolo (angolo parallattico) sotto cui si osserva una lunghezza S. Con:

• Angolo parallattico costante si misura la lunghezza individuata dall’angolo noto (indicato da due tratti nell’oculare), con precisione tipica di.
• Angolo parallattico variabile si misura l’angolo sotto cui si osserva una lunghezza nota, con precisione tipica di.

I distanziometri moderni si basano sull’utilizzo di segnali elettromagnetici. Solitamente si usa una radiazione nell’infrarosso vicino (0,7 - 0,8 µm) perché ha buone capacità di penetrazione anche in caso di foschia. Si usa un sistema con un trasmettitore attivo ed un riflettore passivo che riflette una parte del segnale verso il trasmettitore. Questi strumenti sono indicati con i nomi Electro Optical Distance Meter (EODM) o Electromagnetic Distance Meter (EDM). Esistono due tipi di EDM:

• A misura di fase: emette un segnale sinusoidale e misura lo sfasamento tra segnale emesso e segnale ricevuto.
• A impulsi: emette un segnale impulsivo e misura il tempo impiegato per il suo ritorno.

Gli strumenti topografici moderni consentono spesso entrambe le modalità di funzionamento. Il trasmettitore invia un segnale modulato in ampiezza. Il segnale emesso è riflesso dal riflettore e ricevuto da un comparatore o (discriminatore) di fase, che misura lo sfasamento tra onda uscente ed onda entrante.

La lunghezza d’onda del segnale emesso è il campione con cui viene confrontata la distanza da misurare. Il segnale percorre due volte la distanza strumento-riflettore (andata e ritorno).

Nel percorso lungo è in generale contenuto un numero intero di lunghezze d’onda ed una parte frazionaria:

2 = nλ + ϕ
R = (n + ϕ/2π)λ

Dove:

• R è la distanza incognita.
• n è il numero intero di lunghezze d’onda incognito.
• λ è la lunghezza d’onda determinata dalla frequenza del segnale e da variabili ambientali (P, T e pressione parziale del vapore acqueo) considerata nota.
• ϕ è la differenza di fase tra segnale uscente ed entrante misurata dal discriminatore.

Dall’espressione si può ricavare che la varianza della distanza misurata in questo modo aumenta con λ. Per potere calcolare la distanza è necessario conoscere il numero di lunghezze d’onda in essa contenuto. Per il calcolo di n si usano due approcci:

• Metodo per decadi con una sequenza di lunghezze d’onda decrescenti.
• Combinazione di due lunghezze d’onda con due onde con lunghezza simile.

Il metodo per decadi è un metodo iterativo in cui si fanno misure in sequenza diminuendo la lunghezza d’onda di un fattore 10:

1. Si parte con λ₀ da cui consegue n e si calcola una distanza.
2. Si diminuisce di 10 volte, si calcola n dal valore della distanza calcolato precedentemente e si ricalcola.
3. Si ripete il punto 2 fino alla lunghezza d’onda corrispondente alla precisione ottenibile dallo strumento.

La necessità di usare piccole lunghezze d’onda è legata al fatto che la varianza della distanza aumenta con λ. Con la combinazione di lunghezze d’onda si usano due lunghezze d’onda vicine, per le quali si ha lo stesso numero intero n.

Per le due lunghezze d’onda λ₁ e λ₂ deve valere:

R = (n₁ + ϕ₁/2π)λ₁ = (n₂ + ϕ₂/2π)λ₂

Da cui:

λ₁ − λ₂ ≈ 2

Esiste una distanza, detta distanza limite, oltre la quale è diversa per le due lunghezze d’onda λ₁ e λ₂. Per R > distanza limite, assumendo n₁ = n₂ + 1, vale:

λ₂ = 2(λ₁ − λ₂)

La distanza limite è circa proporzionale a λ₁ e λ₂. Per avere grande R si deve avere λ₁ e λ₂ grandi, mentre per avere buone precisioni si devono avere λ₁ e λ₂ piccole. Le due richieste sono contraddittorie, si può risolvere in due modi:

1. Si usano coppie di λ₁ e λ₂ decrescenti, usando il risultato della coppia precedente per calcolare n₃ = n₀.
2. Si usa una terza lunghezza d’onda grande con λ₁ per ricavare una distanza approssimata e calcolare n₁ e n₂ con λ₂ e λ₃ piccole per determinare la distanza.

Nei distanziometri ad impulsi si emette un segnale impulsivo e si misura il tempo che il segnale impiega a tornare all’emettitore:

Δt = 2R / c, dove c è la velocità del segnale, circa 3 × 10⁸ m/s, e Δt è l’intervallo di tempo misurato.

Per avere precisioni millimetriche (10^-3 m) si deve misurare l’intervallo di tempo con precisione dell’ordine di 10^-12 s (picosecondi). Nella maggior parte degli strumenti la misura viene ripetuta con più impulsi e viene fornito il valore medio.

Spesso gli strumenti topografici implementano entrambi i metodi di misura della distanza perché:

• I distanziometri a misura di fase:
  • Hanno accuratezza (poco) maggiore.
  • Hanno portata massima 1-2 km con prismi riflettori.
• I distanziometri a impulsi:
  • Hanno portata massima 3-5 km con prismi riflettori.
  • Possono eseguire misure senza prismi riflettori su distanze fino a 200m - 1km.

La maggiore portata e possibilità di misure senza prismi dei distanziometri a impulsi sono dovuti alla maggiore intensità dell’impulso rispetto al segnale sinusoidale. Le reali portate dipendono dal modello dello strumento e dalle condizioni ambientali.

Le sorgenti di errore per gli EDM sono:

• Atmosfera: la velocità del segnale dipende dall’indice di rifrazione, che è tipicamente diverso da quello in atmosfera standard in cui lo strumento è calibrato; l’indice di rifrazione e la sua differenza rispetto a quello in atmosfera standard, può essere calcolato conoscendo P, T e la pressione parziale di vapore acqueo.
• Elettronica: legata alla risoluzione ed alla stabilità degli oscillatori e del discriminatore di fase.
• Costruzione: per cui il punto di misura nelle distanze non coincide con il centro dello strumento.
• Prisma: se la costante del prisma, distanza del punto di riflessione dal punto di stazione del prisma, è diversa da quella nominale (solitamente da 0 a qualche cm).

La propagazione della varianza nella formula del calcolo della distanza risulta essere:

σ_R² = (σ_nλ)² + (σ_ϕλ/2π)²

Che può essere scritta come:

σ_R² = σ_const² + (σ_varR)²

Dove:

• σ_const è una parte costante che dipende essenzialmente dalle incertezze dovute all’elettronica dello strumento (discriminatore di fase, oscillatori, elettronica in generale).
• σ_var è il coefficiente della parte variabile, legata soprattutto all’atmosfera.
• R è la distanza misurata.

I valori delle costanti e dipendono dagli strumenti, valori tipici sono:

• EDM a misura di fase: σ_const = 1 ÷ 5 mm, σ_var = 1 ÷ 5 × 10^-6 (R = 1 ÷ 5 km)
• EDM a impulsi: σ_const = 5 ÷ 10 mm, σ_var = 1 ÷ 5 × 10^-6 (R = 1 ÷ 5 km)

Angoli

La misura di angoli in topografia viene effettuata con teodoliti o stazioni totali (che integrano teodolite e distanziometro). Questi strumenti misurano due tipi di angoli:

• Angolo azimutale “orizzontale”.
• Angolo zenitale “verticale”.

Questi angoli sono misurati contemporaneamente, ma spesso usati separatamente.