Teoria Scienza delle costruzioni

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Appunti di scienza delle costruzioni sulla teoria basato su appunti personali del publisher presi alle lezioni del prof. Andreus dell’università degli Studi La Sapienza - Uniroma1, …

Esame Scienza delle costruzioni

Facoltà Ingegneria

Dal corso del Prof. Andreaus Ugo

Università Università degli Studi di Roma La Sapienza

A.A. 2016-2017

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Estratto del documento

Assunzioni semplificative per il prisma di Saint-Venant e conseguenze

Assunzioni

Geometriche -> cilindro/prisma di lunghezza finita.
Cilindro/prisma "snello", D << L con D diametro della sezione e lunghezza del cilindro/prisma.
Materiali -> EUO.
Cinematiche.
"Piccoli" spostamenti -> max |d| << L.
"Piccole" deformazioni -> Eij << 1.
Dinamiche -> b = 0 e c = cg = 0 su dL.
g != 0 su D_o e D_L.

[S] = 0 0 S_xz 0 0 S_yz S_zx S_zy S_zz

Conseguente

1) Equazione di equilibrio lungo x

∂S_xx/∂x + ∂S_yx/∂y + ∂S_zx/∂z + b_x = 0

∂S_zx/∂z = 0 -> S_zx = cost_z

Equazione di equilibrio lungo y

∂S_xy/∂x + ∂S_yy/∂y + ∂S_zy/∂z + b_y = 0

∂S_zy/∂z = 0 -> S_zy = cost_z

Quindi

S_zx = S_zx (x,y) -> funzioni solo di x e y

S_zy = S_zy (x,y)

t_tot = S^T . n̂ = [0 0 S_xz 0 0 S_yz S_zx S_zy S_zz] [001] = {S_zx S_zy S_zz} = S_zx î + S_zy ĵ + S_zz k̂

Sforzo tangenziale -> S_zx î + S_zy ĵ

Sforzo assiale -> S_zz k̂

Assunzioni semplificative per il prisma di Saint-Venant e conseguenze

Assunzioni

Geometriche -> cilindro/prisma di lunghezza finita.
Cilindro/prisma "snello".
D << L con D diametro della sezione.
L lunghezza del cilindro/prisma.
Materiali -> EUO.
Cinematiche.
"Piccoli" spostamenti -> max |d| << L.
"Piccole" deformazioni -> E_ij << 1.
Cinematiche -> b = 0 e c^r = cq = 0 su D_l.
q != 0 su D_o e D_l.

[S] = [ 0 0 S_xz 0 0 S_yz S_zx S_zy S_zz ]

Conseguenze

1) Equazione di equilibrio lungo x

∂S_xx/∂x + ∂S_yx/∂y + ∂S_zx/∂z + b_x = 0

∂S_zx/∂z = 0 -> S_zx = cost_z

Equazione di equilibrio lungo y

∂S_xy/∂x + ∂S_yy/∂y + ∂S_zy/∂z + b_y = 0

∂S_zy/∂z = 0 -> S_zy = cost_z

Quindi

S_zx = S_zx(x,y) -> funzioni solo di x e y

S_zy = S_zy(x,y)

t_tot = S^T . n = [ 0 0 S_xz 0 0 S_yz S_yx S_zy S_zz ] [ 001 ] = {S_zx S_zy S_zz} = S_zx i + S_zy j + S_zz k

Sforzo tangenziale -> S_zx i + S_zy j

Sforzo assiale -> S_zz k

Gd ricevente

2) q = 0 su dl = dlt - (D₀ + D₁)

con t sforzo tangenziale

n̂ = n_x î + n_y ĵ + n_z k̂ = { n_x n_y 0 }

ĝ = S^T n̂ = [ 0 0 S_xz ; 0 0 S_yz ; S_zx S_zy S_zz ] { n_x n_y 0 } = (S_xz n_x + S_yz n_y) k̂

quindi

S_xz n_x + S_yz n_y = 0 => S_zx n_x + S_zy n_y = 0

t̂ . n̂ = 0 => t̂ ⊥ n̂

Principio di Saint-Venant

S₁: stato elastico 1

In 2-D

In 1-D

S₂: stato elastico 2

In 2-D

In 1-D

Per S₁

∫_{D_z} g_l¹ dA = ∫_{D_z} g₀¹ dA = N₁ k̂

Per S₂

∫_{D_z} g_l² dA = ∫_{D_z} g₀² dA = N₂ k̂

Il principio di Saint-Venant afferma che:

Se il cilindro è sufficientemente snello (D ≤ L/10) e se N₁ = N₂, allora S₁ S₂ in un'ampia zona centrale, vicino alle estremità (lunghe D) questa coincidenza approssimativa non vale,

Problema elasto-statico linearizzato per i solidi 3-D

Cinematica

E_nk = 1/2 (d_n,k + d_k,n) con n,k = 1,2,3

la virgola indica la derivazione

Dinamica

T_j,id + b_i = 0 con i,j = 1,2,3 su l^a

T_ji w_j = g_i con i,j = 1,2,3 su d_g

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