Teoria di matematica generale e finanziaria

Matematica finanziaria

Operazioni di capitalizzazione

Il denaro è portato avanti nel tempo.

• Acquistando un titolo
• Concedendo un prestito

C = capitale → somma di denaro investita oggi.

M = somma di denaro ottenuta tra un anno → montante.

I = M-C → Interesse.

Operazioni di attualizzazione

Il denaro è portato indietro nel tempo.

• Vendo un titolo
• Ricevo un prestito

A = valore attuale o scontato → somma di denaro ottenuta oggi.

S = valore a scadenza o nominale.

A/S = ϕ → fattore di attualizzazione.

D = S - A → sconto.

Capitalizzazione → = 1 + I/C.

Attualizzazione → = 1 - D/S.

Tasso annuo di interesse

i = interesse prodotto da 1€ investito per 1 anno.

i = (1) - 1.

Tasso annuo di sconto

d = compenso per cui anticipo la somma di 1€ che scadrà tra 1 anno.

d = 1 - f e ϕ sono coniugati, si ha

_d = ⁱ/_1+i

_i = ^d/_1-d

Matematica finanziaria

Operazioni di capitalizzazione

Il denaro è portato avanti nel tempo.

Acquistando un titolo rinuncio a una somma di denaro/disponibilità finanziaria immediata per ottenere una futura.

C = capitale = somma di denaro investita oggi.

M = somma di denaro ottenuta tra un anno → montante.

Ъ = fattore di capitalizzazione o di montante = _M⁄_C.

I = M – C = interesse.

Operazioni di attualizzazione

Il denaro è portato indietro nel tempo.

Vendo un titolo → ottengo una disponibilità finanziaria immediata.

Ricevendo un prestito in cambio del pagamento di una somma in futuro.

Es. ricevo 1000 euro = un prestito in cambio del pagamento di 1050 tra un anno.

A = valore attuale o scontato → somma di denaro ottenuta oggi.

S = valore a scadenza o nominale → somma di denaro che pagherò tra 1 anno.

_A⁄_S = Э = fattore di attualizzazione.

D = S – A = sconto.

Capitalizzazione → Ъ = 1 + _I⁄_C.

Attualizzazione → Э = 1 - _D⁄_S.

Tasso annuo di interesse

_i = interesse prodotto da 1 € investito per 1 anno.

_i = Ъ(1) - 1.

Tasso annuo di sconto

_d = compenso per chi anticipa la somma di 1 € che scadrà tra 1 anno.

_d = 1 - Э.

Ъ e Э sono coniugati, si ha.

Tasso annuo sconto → _d = _i⁄_{1+ i}.

Tasso annuo interesse → _i = _d⁄_1-d.

Capitalizzazione semplice

I = C · i · t.

M = C · (1 + i t).

i = tasso interesse semplice.

C = 1000.

i = 10% = 0,1.

t = 9 mesi = 9/12.

f(t,i) = 1 + i t → fattore montante.

φ(t,i) → fattore di sconto coniugato 1/(1+i t).

Tassi non annuali e tassi equivalenti

i₁₂ = tasso mensile.

i₆ = ........ semestrale.

i₃ = ........ quadrimestrale.

Si consideri una legge di capitale semplice col tasso annuo del 12%. Calcolare tasso trimestrale equivalente.

NB: tassi equivalenti generano lo stesso fattore di capitalizzazione.

1 + i = 1 + i_m · m ..... tasso trimestrale 1/3 = 4m = 41 + i₁₂ = 1 + i₃ · 4 = 4 (1 + i₃).

i₄ = i₁₂/4 = 12/4 = 3%.

Titolo di puro sconto (zero-coupon bond)

Si chiama rendimento semplice a scadenza → r il tasso di interesse semplice tale che il montante del prezzo di acquisto A eguagli il valore di rimborso N alla data T.

r = (N - A)/AT.

A = N · (1/(1 + r T)).

Capitalizzazione composta

Fattore di montante → f(t,i) = (1+i)^t.

Fattore di sconto → φ(t,i) = 1/(1+i)^t.

i = tasso annuo di interesse composto.

Esempi

Capitalizzazione

C = 1000.

t = 3 anni.

i = 10%.

M = C · (1 + i)^t.

H = 1000 (1 + 0,1)³.

Attualizzazione

S = 1000.

t = 2 anni.

i = 10%.

A = φ S.

A = 1/(1 + i)^t S = 1000/(1 + 0,10)² = 826,45.

Tassi non annuali e tassi equivalenti

i_m = ^m√(1+i) - 1 i e i_m → tassi equivalenti in capitalizzazione composta.

j^m = i_m · m → tasso annuo nominale convertibile m volte l'anno.

Sconto commerciale

La propria caratteristica di questo regime finanziario è che lo sconto è proporzionale alla somma a scadenza S e alla scadenza t dell'impiego.

D = S · t · d.

Da cui seguono.

D = S -