Teoria dei segnali - Appunti

Pierluigi Giangrande Teoria dei Segnali

2Teoria dei Segnali Pierluigi GiangrandeIndice1 Introduzione ai segnali 72 Serie di Fourier 112.1 Equazione di analisi ed equazione di sintesi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.2 Criteri di Dirichlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.3 Spettro di un segnale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.4 Segnale pari e dispari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.5 Segnali noti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.6 Proprietà della serie di Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183 Trasformata di Fourier 213.1 Equazione di analisi e sintesi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213.2 Condizioni di convergenza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223.3 Proprietà di simmetria della TF . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233.4 Convoluzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263.5 Generalizzazione della TF . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283.6 Formule di Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314 Analisi dei sistemi nel dominio del tempo 354.1 Proprietà dei sistemi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354.2 Caratterizzazione sistema lineare . . . . . . . . . . . . . . . . . . 364.3 Collegamento tra sistemi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 384.4 Risposta impulsiva in frequenza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 394.5 Densità spettrale di energia e di potenza . . . . . . . . . . . . . 424.5.1 Funzione di correlazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 454.6 Sistemi ZMNL (zero memory non linear) . . . . . . . . . . . . . 475 Segnali a tempo discreto 515.1 Segnali canonici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 525.2 Trasformata di Fourier di segnali aperiodici a tempo discreto . . 545.2.1 Equazione di analisi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 545.2.2 Equazione di sintesi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 555.2.3 Trasformate note . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 555.2.4 Proprietà della TF per segnali TD . . . . . . . . . . . . . 563Pierluigi Giangrande Teoria dei Segnali4 INDICE5.3 Campionamento e quantizzazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . 585.3.1 Campionamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 585.3.2 Quantizzazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 605.4 Conversione D/A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 615.5 Analisi di Fourier delle sequenze periodiche . . . . . . . . . . . . 636 Sistemi tempo-discreto LTI 676.0.1 Definizione sistema LTI e risposta impulsiva . . . . . . . 676.0.2 Risposta in frequenza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 676.0.3 Campionamento tempo discreto . . . . . . . . . . . . . . 686.0.4 Cambiamento della frequenza di campionamento . . . . . 696.0.5 Sovracampionamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 696.0.6 Sottocampionamento e decimazione . . . . . . . . . . . 707 Elementi di Statistica 737.1 Definizioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 737.2 Lo Spazio delle Probabilità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 757.2.1 Spazi di probabilità discreti . . . . . . . . . . . . . . . . . 767.2.2 Spazi di probabilità continui . . . . . . . . . . . . . . . . 767.2.2.1 Spazio campione bidimensionale . . . . . . . . 777.3 Indipendenza statistica e probabilità condizionale . . . . . . . . . 787.3.1 Legge della probabilità composta . . . . . . . . . . . . . 787.3.2 Teorema della probabilità totale e teorema di Bayes . . . 797.3.3 Definizione di statistica indipendenza e di indipendenzacondizionale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 797.4 Esperimento congiunto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 807.5 Variabile aleatoria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 807.5.1 Funzione di distribuzione cumulativa (CDF) . . . . . . . 817.5.2 Variabile aleatoria discreta, continua e mista . . . . . . . 827.5.3 Funzione densità di probabilità (PDF) . . . . . . . . . . 837.5.4 Variabili aleatorie notevoli . . . . . . . . . . . . . . . . . 837.5.5 Trasformazione di variabile aleatoria . . . . . . . . . . . 857.5.5.1 Trasformazione lineare . . . . . . . . . . . . . . 867.5.6 Caratterizzazione sintetica di una variabile aleatoria . . . 877.5.6.1 Media statistica (expectation) . . . . . . . . . . . 877.5.6.2 Varianza e valor quadratico medio . . . . . . . . 887.5.6.3 Considerazioni su varianza e media statistica nelcaso di trasformazione lineare . . . . . . . . . . . . 897.5.6.4 Considerazioni finali sulla caratterizzazione sintetica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 907.6 Applicazione della statistica all’errore di quantizzazione nella conversione A/D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 907.7 Coppia di variabili aleatorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 917.7.1 Funzione di distribuzione cumulativa congiunta . . . . . 91Teoria dei Segnali Pierluigi GiangrandeINDICE 57.7.2 Funzione densità di probabilità congiunta e densità marginale 927.7.3 Statistica indipendenza . . . . . . . . . . . . . . . . . . 937.7.4 Caratterizzazione sintetica di una coppia di variabili aleatorie 937.7.4.1 Incorrelazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93Pierluigi Giangrande Teoria dei Segnali6 INDICETeoria dei Segnali Pierluigi Giangrande

Capitolo 1

Introduzione ai segnali

Si definisce segnale un qualunque modello matematico che descrive le variazioni di una o più grandezze fisiche in funzione di un’altra (o più) grandezza fisica.

• Ad esempio, il segnale vocale è trasferito mediante la grandezza fisica pressione; tale segnale varia sia nello spazio sia nel tempo, per cui p = p(x, y, z, t); fissato un punto nello spazio, si ha p = p(t).
• Un altro esempio è l’immagine bitonale (i colori coinvolti sono il bianco e il nero); in tal caso la grandezza fisica presa in considerazione è la luminanza. Tale segnale sarà funzione di due variabili reali e sarà l(x, y), caratterizzato da un dominio continuo. Per trasformare l’informazione continua portata da tale segnale in informazione discreta è possibile considerare solo determinati valori delle due variabili spaziali e così dividere il dominio in un insieme di quadretti chiamati pixel; in tal modo il segnale diventa funzione di due variabili intere. Nel caso l’immagine bitonale fosse funzione anche del tempo si parla di video.
• Un altro esempio è il numero di quotidiani venduti ogni giorno in un anno dove la variabile n sta ad indicare il giorno e varia tra 1 e 365: N(n).
• Un altro esempio di segnale descrive le temperature minime e misurate ogni giorno in un anno in una precisa località; esso sarà T(n).

Si dice che un segnale è visto come un vettore di informazioni se a tale segnale è associato un livello di incertezza.

Andiamo adesso ad esaminare le proprietà dei segnali:

• È possibile classificare i segnali in base alla dimensione:
  • Monodimensionale: un segnale è funzione di una variabile indipendente.
  • Multidimensionale: un segnale è funzione di più variabili indipendenti.
• In base al tipo di valore:
  • Scalare: un segnale si dice scalare quando il valore assunto dal segnale è uno scalare.
  • Vettoriale: un segnale si dice vettoriale quando esso è un vettore che ha per componenti più segnali scalari.
• Sulla base delle proprietà delle variabili indipendenti:
  • Tempo continuo: un segnale a tempo continuo è un segnale in cui la variabile indipendente varia con continuità; essi si dividono in:
    • Analogici: segnali tempo continui e a valori continui.
    • Segnali tempo continui e a valori discreti.
  • Tempo discreto: un segnale a tempo discreto è un segnale in cui la variabile indipendente assume valori in un sistema discreto; essi si dividono in:
    • Segnali tempo discreto e a valori continui.
    • Digitali o numerici: segnali a valori discreti e a tempo discreto.
• Sulla base della natura del segnale:
  • Determinato o deterministico: un segnale può essere scritto mediante una funzione; tale funzione può essere, ad esempio, un coseno x(t) = A cos(2πf₀ + ϑ₀); tali segnali si dividono in:
    • Periodici.
    • Quasi periodici (costituiti da segnali che sono periodici).
    • Aperiodici.
  • Aleatorio (random, stocastico): un segnale è un segnale la cui definizione contiene un certo grado di incertezza; essi si dividono in:
    • Puramente aleatori, segnali che non permettono alcuna descrizione.
    • A parametri aleatori, che, fissati, danno un segnale deterministico.
• Sulla base del contenuto energetico:
  • Energia: un segnale si dice di energia se la quantità E = ´^+∞_−∞|x(t)|² dt = ∑^+∞_n=−∞|x(n)|² è finita e non nulla.

Teoria dei Segnali Pierluigi Giangrande9

Guardando la definizione di energia, risulta ovvio che un segnale persistente NON è di energia, in quanto l’integrale su R risulta essere non finito. Analogamente, un segnale transitorio (rigorosamente come Π(t) o praticamente come u(t) exp(−t)) è di energia perché l’integrale del modulo quadrato del segnale è non nullo solo su di un intervallo compatto.

es. x(t) = A non è di energia: E = A² ´^+∞_−∞ dt = A²[t]^+∞_−∞ = +∞

• Potenza: un segnale si dice di potenza se la quantità potenza media P = lim_T→∞ 1/(2T) ´^+T_−T|x(t)|² dt = lim_N→∞ 1/(2N + 1) ∑^+N_n=−N|x(n)|² è finita e non nulla.

Diversamente da quanto accade per la definizione di energia, un segnale persistente è spesso di potenza. Un segnale di energia, invece, è caratterizzato da un valore dell’integrale finito, che diviso per una quantità infinita (2T), dà un valore nullo.

Si definisce media temporale di un segnale la quantità < x(t) > = lim_T→∞ 1/(2T) ´^+T_−Tx(t)dt = lim_N→∞ 1/(2N + 1) ∑^+N_n=−Nx(t).

Ossia essa è l’ordinata che sottende (su un’area pari a quella sottesa dal segnale). Tale definizione può essere ristretta anche ad un intervallo [t₁, t₂] senza applicare il limite e scrivendo la frazione come 1/(t₂ − t₁). Si nota che la potenza di x(t) è pari alla media temporale di |x(t)|².

Un segnale di energia è caratterizzato da media nulla. Infatti, un segnale con norma₂ finita e non nulla appartiene a L₂(R), quindi apparterrà anche a L₁(R), quindi sarà sommabile e integrabile su R. Ciò vuol dire che, applicando la definizione di limite, otteniamo una quantità nulla ed essa è proprio la media.

Un’altra proprietà della media è la linearità, dovuta al fatto che essa è composta da operatori lineari (limite, integrale).

• Ora consideriamo un altro tipo di segnali, i segnali periodici. Essi sono caratterizzati dall’esistenza di una quantità tale che T₀: x(t) = x(t + T₀). Dalla definizione stessa si nota che un segnale periodico è di potenza, e la sua media può essere calcolata riferendosi ad un sottointervallo di R ampio proprio T₀; tale proprietà si esprime dicendo che la media è invariante rispetto alle traslazioni in quanto < x(t) > = < x(t + T₀) >.
• Un’altra categoria di segnali è quella dei fasori, x(t) = exp(j(2πf₀t + ϑ₀)), dove f₀ si chiama frequenza e ϑ₀ è detta fase iniziale del fasore. Si nota infatti che un fasore è un vettore che ruota più velocemente quanto maggiore è il valore della frequenza, e la fase iniziale rappresenta l’angolo che il fasore forma con l’asse reale quando t = 0 (il fasore, infatti, essendo caratterizzato da una funzione complessa, è rappresentato su da una coordinata reale e una immaginaria). Anche per il fasore si può introdurre il concetto di periodo: infatti un fasore è periodico di periodo T₀ se vale la relazione 2πf₀t = 2πf₀(t + T₀) + 2πk. Sviluppando tale equazione si ha kT₀ = T_f; ma, se un segnale ha periodo T, esso avrà anche periodo 2T, 3T ecc. quindi è sufficiente considerare il più piccolo valore del periodo non nullo.
• È molto importante lo studio dei fasori a tempo discreto, caratterizzati da una rotazione a scatti di frequenza F, e quanto maggiore è il valore della frequenza maggiore sarà la rotazione. Tuttavia, siccome ciò che ci interessa è solo il punto iniziale e il punto alla fine della rotazione (perché essa è a scatti), allora una rotazione di un determinato angolo in un verso può essere vista come una rotazione dell’angolo esplementare nel verso opposto. Conseguenza di ciò è il fatto che il valore massimo della frequenza risulta essere F = 0,5, in quanto per ogni scatto il fasore percorre un angolo pari a π (metà del giro completo). Se prendiamo, ad esempio, F = 0,75, avremmo dopo uno scatto una rotazione in verso antiorario di 3π/2, ma può essere vista come una rotazione in verso orario di π/2. Un’altra conseguenza della rotazione a scatti è la periodicità della frequenza. Infatti se due fasori sono caratterizzati da due frequenze che si differenziano per un numero intero, allora essi per ogni scatto avranno la stessa distanza angolare dalla fase precedente (questo perché non ci interessa il numero di giri percorsi, ma solo la posizione iniziale e finale). Un’altra differenza dal dominio continuo è che probabilmente un fasore percorre un certo numero di giri prima di ritornare alla fase iniziale (es. se F = 0.75 e la fase iniziale è nulla, dopo uno scatto la fase sarà 270°, dopo due scatti sarà 180°, dopo 3 scatti essa sarà 90°, dopo 4 scatti essa tornerà ad essere 0°; quindi il fasore torna alla fase iniziale dopo 4 giri). Ciò influisce sul concetto di periodo N = k/F del fasore; il valore di k deve essere tale da far essere il periodo un numero intero.

Capitolo 2

Serie di Fourier

2.1 Equazione di analisi ed equazione di sintesi

Un segnale reale periodico può essere rappresentato come una somma di segnali sinusoidali caratterizzati da una determinata fase, una determinata ampiezza, una determinata frequenza. Risulta essere molto utile studiare segnali sinusoidali in quanto essi sono caratterizzati dal fatto che, quando attraversano un sistema lineare, mantengono invariata la loro frequenza e variano solo la loro fase e la loro ampiezza.

Sappiamo che, per definizione, i segnali periodici sono quei segnali tali che esiste una quantità T₀ tale che x(t) = x(t + T₀).

La serie di Fourier permette di rappresentare un segnale periodico come somma di sinusoidi. Ciò vale sia per i segnali tempo continuo, sia per quelli tempo discreto. Le frequenze dei vari segnali che compongono il segnale di partenza sono multipli della frequenza di ripetizione, che nient’altro è se non il reciproco del periodo del segnale.

Allora un segnale x(t) può essere espresso come segue: x(t) = A₀ + 2A₁ cos(2πf₀t + ϑ₁) + 2A₂(2π(2f₀)t + ϑ₂) + ...

Ossia, esprimendo tutto ciò tramite una sommatoria, si ottiene x(t) = A₀ + 2 ∑^+∞_k=1A_k cos(2π(kf₀)t + ϑ_k).

In cui il termine costante sta a rappresentare la componente a frequenza nulla (detta componente continua), per k = 1 si ricavano ampiezza e fase della componente fondamentale del segnale (ossia quella che presenta frequenza pari a quella del segnale stesso), per k > 1 si ricavano ampiezza e fase delle armoniche; tale equazione rappresenta l’equazione di analisi che permette di ricavare il segnale a partire dal valore delle successioni numeriche che lo compongono.

Tali successioni sono la successione delle ampiezze A_k e la successione delle fasi ϑ_k che instaurano una corrispondenza biunivoca con il segnale, ossia ad un dato segnale corrispondono solo delle date successioni e a date successioni corrisponde un unico segnale.

Riferendosi alla nota formula di Eulero cos(t) = (exp(jt) + exp(−jt))/2, è possibile esprimere la serie di Fourier anche nella sua forma complessa: x(t) = ∑^+∞_k=−∞X_k exp(j2πkf₀t), ponendo opportunamente X_k = A_−k exp(−jϑ_−k) k < 0; X_k = A₀ k = 0; X_k = A_k exp(jϑ_k) k > 0.

Si nota allora la corrispondenza biunivoca che si viene ad instaurare tra i coefficienti della serie esponenziale di Fourier X_k ed il segnale x(t). Osservando la definizione dei coefficienti X_k della serie esponenziale di Fourier, si nota che per opposti valori della variabile k si ottengono valori dei coefficienti X uguali in