Teorema di Inversione locale

Teorema di inversione locale

Sia A aperto e T: A ∈ ℝ^m → ℝⁿ, T ∈ C¹(A). Possiamo calcolare la matrice Jacobiana che in questo caso è una matrice n x n.

T = (T₁, ..., T_m), T_i: A → ℝ, j = 1, ..., m

J T(x): [d_x1T₁(x) ... d_xnT₁(x)] [d_x1T_n(x) ... d_xnT_n(x)]

Def. Si dice determinante Jacobiano il determinante della matrice Jacobiana det[J T(x)].

Osserviamo che se det [J T(x)] ≠ 0 la matrice J T(x) è invertibile.

Teorema di inversione locale

Sia T: A ∈ ℝ^m → ℝⁿ A aperto, T ∈ C¹(A), sia x₀ ∈ A e y₀ = T(x₀). Supponiamo che det [J T(x₀)] ≠ 0. Allora:

• Esiste un intorno aperto U di x₀ tale che T(U) è un intorno aperto di y₀ e la funzione T: U → T(U) è biiettiva.
• La funzione inversa locale T^-1: T(U) → U è di classe C¹(T(U)). Inoltre la matrice Jacobiana di T^-1 in y₀ è data da J (T^-1)(y₀) = [J T(x₀)]^-1

Oss:

• Se m = 1, T: Ø A = ℝ → ℝ di classe C¹ su A e J T(x₀) = f'(x₀) ≠ 0 si ha (f^-1)(y₀:) 1 / f'(x₀).
• Il TIL garantisce solo invertibilità locale di T, ovvero invertibilità della restrizione di T ad un intorno di x₀.
• Il TIL garantisce l'invertibilità dell'inversa locale T^-1 ed una formula esplicita per la Jacobiana di T^-1 in y₀ = T(x₀).
• Il TIL non spiega come è fatta T^-1 e non chiarisce se T: A → ℝⁿ sia iniettiva oppure no.

Teorema di inversione locale

Sia A ⊂ ℝⁿ aperto e T: A ⊂ ℝⁿ ⟶ ℝⁿ, T ∈ C¹(A). Possiamo calcolare la matrice Jacobiana che in questo caso è una matrice n x n.

T = (T₁, ..., T_n), T_j: A ⟶ ℝ per j = 1, ..., m

J T(x) = d_x1T₁(x)...d_xnT₁(x).........d_x1T_n(x)...d_xnT_n(x)

Def: si dice determinante Jacobiano il determinante della matrice Jacobiana det J T(x).

Osserviamo che se det [ J T(x)] ≠ 0 la matrice J T(x) è invertibile.

Teorema di inversione locale

Sia T: A ⊂ ℝⁿ ⟶ ℝⁿ A aperto, T ∈ C¹(A), siano x₀ ∈ A e y₀ = T(x₀). Supponiamo che det [ J T(x₀)] ≠ 0. Allora:

• Esiste un intorno aperto U di x₀ tale che T(U) è un intorno aperto di y₀ e la funzione T: U ⟶ T(U) è biiettiva.
• La funzione inversa locale T^-1: T(U) ⟶ U è di classe C¹(T(U)), inoltre la matrice Jacobiana di T^-1 in y₀ è data da J (T^-1) (y₀) = [ J T(x₀)]^-1

Oss:

• Se n = 1 T: θ A ⊂ ℝ ⟶ ℝ di classe C¹ su A e J T(x₀) = f'(x₀) ≠ 0 si ha (f^-1)'(y₀) = 1 / f'(x₀)
• Il TIL garantisce solo invertibilità locale di T, ovvero invertibilità della restrizione di T ad un intorno di x₀.
• Il TIL garantisce l'invertibilità dell'inversa locale T^-1 e dà una formula esplicita per la Jacobiana di T^-1 in y₀ = T(x₀).
• Il TIL non spiega come è fatta T^-1 e non chiarisce se T: θ A ⟶ ℝⁿ è invertibile oppure no.

Applicazione del TIL

Sia T: A = (0, ∞) × (0, 2π) → ℝ² la trasformazione di coordinate destra data T(β, θ) = (βcosθ, βsinθ)

\[ x = βcosθ \]

\[ y = βsinθ \]

A è un insieme aperto, T è iniettiva su A. Se la restringiamo all’immagine T(A), otteniamo anche la suriettività:

T(A) = ℝ² \ { (x,0), x>0 }

T: A → T(A) è biiettiva, dunque ammette inversa globale, ovvero esiste la mappa inversa T^-1: T(A) → A

Chiaramente, se T è invertibile globalmente lo è anche localmente. Il [TIL] però ci serve ad individuare alcune proprietà:

Osserviamo che le ipotesi del TIL sono verificate:

• 1) T ∈ C¹(A), poiché le componenti sono C¹
• 2) Posso calcolare la matrice Jacobiana JT(β, θ) = \[ \begin{pmatrix} cosθ & -βsinθ \\ sinθ & βcosθ \end{pmatrix} \] , ∀ (β,θ) ∈ A

det JT(β,θ)= \[ \begin{vmatrix} cosθ & -βsinθ \\ sinθ & βcosθ \end{vmatrix} \] = βcos²θ + βsin²θ = β > 0

det JT(β,θ) > 0 ∀ (β, θ) ∈ A.

Sono soddisfatte le ipotesi del TIL per ∀ (β,θ) ∈ A. Il TIL ci dice che:

• T è localmente invertibile
• T^-1 è di classe C¹(T(A)) e possiamo calcolare JT^-1, utile poiché il calcolo diretto sarebbe complicato

Funzione inversa

"funzione inversa"

Se indichiamo con Θ = Θ(x,u), β = β(x,u) le componenti di T^-1

T^-1 β = β(x,u) Θ = Θ(x,u) Sappiamo esplicitare β(x,u) : Γ x² + 4 u² , mentre il problema è esplicitare Θ in funzione di (x,u).

So che tan Θ = ^{sen Θ}/_{cos Θ} → x ≠ 0 , però ho bisogno di restringere il dominio:

Se x > 0 allora posso scrivere Θ : arctan ^u/_x tuttavia è solo un'inversa locale che non mi descrive Θ(x,u) su ℝ meno i punti esclusi prima.

Qui diventa utile usare il TIL:

𝑥( T^-1(x,u) ) = [ 𝑥 T ( γ ,0) ]^-1 𝑥= ¹/_Γ      ( ^cosβ/_senβ - ^senβ/_cosβ -^senβ/_Γ ^cosβ/_Γ )

cosβ: ^x/_x²+4u² - senβ: ⁴/_x²+u²

Quando 𝑥( T-1 )(x,u) = ( 1/x2+4u2 4/x2+4u2    4/x2+4u2 x/x2+4u2 )

∂Θ(x,u)= ( - ⁴/_x²+4u² , x²/_x²+4u²)

Esercizi

Esercizi:

• Dato T: ℝ² → ℝ² T(u,v)=( u²,v² , uv)
• T = ^x/_x²-v² -4v(u,v) ∈ ℝ²
  • Dire per quale (u,v) &Radic;² R che tu garantisce che T sia localmente invertibile;
  • Calcolare T^-1(0,1) sapendo che T(1,1) = (0,1) l'inversa locale di T in un intorno di (0,1).