Teorema degli zeri e teorema dei valori intermedi

Luca Lussardi Appunti di Analisi I

Teorema degli zeri e Teorema dei

valori intermedi

Una delle proprietà più importanti che possiedono le funzioni continue è rappresentata dal Teo-

rema degli zeri il quale possiede anche una notevole importanza numerica, in quanto fornisce un

risultato astratto che garantisce l’esistenza di soluzioni di un’equazione (algebrica o non) della

forma f (x) = 0. → ∈

Sia f : [a, b] con a, b una funzione continua, tale per

Teorema (degli zeri): R, R,

≤ ∈

cui si abbia f (a)f (b) 0; allora esiste x [a, b] tale che f (x) = 0.

Dimostrazione. Si supponga di avere f (a) < 0 < f (b) (gli altri casi sono del tutto analoghi); sia

{x ∈ ≤

E = [a, b] : f (x) 0}.

∈ ≤ ≤

Intanto a E per cui E non è vuoto. Sia x l’estremo superiore di E; si ha a x b. Sia x n

≤

una successione in E convergente ad x; allora f (x ) 0 per ogni n per cui, per continuità, si

n

≤

ha anche f (x) 0. Sia y una successione con y > x per ogni n: allora si ha f (y ) > 0, dal

n n n

∈

momento che y / E per ogni n, essendo x l’estremo superiore di E. Passando al limite si ha

n

≥

dunque f (x) 0, per cui f (x) = 0.

Il teorema degli zeri sotto certe condizioni garantisce l’esistenza di una soluzione

Osservazione:

dell’equazione f (x) = 0, ma non afferma nulla a proposito della sua unicità; del resto è facile fare

esempi di funzioni per le quali non si ha unicità della soluzione: ogni funzione che sia identica-

mente nulla su un sottointervallo dell’intervallo [a, b] considerato verifica le ipotesi del Teorema

degli zeri ma non ammette un’unica intersezione con l’asse delle x.

Le ipotesi per la validità del Teorema degli zeri sono necessarie: ad esempio la funzione costante

≤

f (x) = 1 definita su un intervallo limitato [a, b] non verifica la condizione f (a)f (b) 0, ed invero

→ −1

non ha intersezioni con l’asse x. Invece la funzione f : [0, 1] definita come f (x) = se

R

∈ ∈

x [−1, 0] e f (x) = 1 se x (0, 1], non è continua, ed invero non ha intersezioni con l’asse delle x.

→

Sia f : I una funzione continua, con I intervallo;

Teorema dei valori intermedi: R

allora Im(f ) è un intervallo.

Dimostrazione. Siano α e β rispettivamente l’estremo inferiore e l’estremo superiore di I, e

∈ ∈

sia y (α, β). Esistono allora a, b tali per cui y (f (a), f (b)). Supponendo a < b si consideri la

→ −

funzione g : [a, b] data da g(x) = f (x) y; allorag è continua e si ha g(a)g(b) < 0. Per il

R ∈ ∈

Teorema degli zeri esiste x (a, b)