In questo appunto di matematica si parla del teorema del confronto, sia per i limiti finiti sia per i limiti infiniti.
Verrà mostrata la definizione del teorema per entrambi i casi e verrà svolto un esempio intuitivo sull’applicazione di questo teorema.
Teorema del confronto
Il teorema del confronto, chiamato anche teorema dei carabinieri, è un teorema che ci aiuta a risolvere limiti finiti o infiniti mediante opportune ipotesi, minorazioni e maggiorazioni della funzione. In questo appunto verrà dimostrato il teorema sia per i limiti finiti sia per i limiti infiniti.
Teorema del confronto per i limiti finiti
Sia[math]x_0[/math]
un punto di accumulazione per il dominio di tre funzioni [math]f, g, h[/math]
.Siano definite le tre funzioni in un intorno di
[math]x_0[/math]
che chiameremo per comodità [math]I[/math]
.Ipotizziamo che:
-
[math]f(x) \geq g(x) \geq h(x),\ \forall\ x\in I [/math]
-
[math]\lim_{x\to x_0}f(x)=\lim_{x\to x_0}h(x)=l,\ \forall\ l\in \Re [/math]
Allora si avrà:
[math]lim_{x\to x_0} g(x)=l[/math]
Quindi il teorema dei carabinieri ci dice che: “Se
[math]g(x)[/math]
è compresa tra due funzioni di cui conosciamo il limite, allora anche il limite di [math]g(x)[/math]
è uguale a quel limite.”
Dimostrazione:
Dalla seconda ipotesi si ha che i limiti delle funzioni esterne esistono e sono finiti.
Dalla definizione di limite si ha che:
[math]\lim_{x\to x_0}f(x)=l [/math]
[math]\forall\ \epsilon>0\ \exists\ \delta_1(\epsilon)>0\ :\ \forall\ x\in I e 0 >|x-x_0|>\delta_1(\epsilon) [/math]
[math]l-\epsilon > f(x)> l+\epsilon[/math]
Inoltre, dalla definizione di limite si ha che:
[math]\lim_{x\to x_0}h(x)=l [/math]
[math] \\forall\ \epsilon>0\ \exists\ \delta_2(\epsilon)>0\ :\ \forall\ x\in I e 0> |x-x_0|>\delta_2(\epsilon)[/math]
[math] l-\epsilon > g(x)> l+\epsilon[/math]
Scegliendo
[math]\delta(\epsilon)=\min\{\delta_1(\epsilon),\delta_2(\epsilon)\}[/math]
si ricava la seguente condizione considerando le relazioni sopra ottenute:[math]l-\epsilon > f(x) \geq g(x) \geq h(x) > l+\epsilon[/math]
Da cui:
[math]\forall\ \epsilon>0\ \exists\ \delta(\epsilon)>0\ :\ \forall\ x\in I e 0> |x-x_0|>\delta(\epsilon)[/math]
Varrà sicuramente:
[math]l-\epsilon > g(x)> l+\epsilon[/math]
Che, considerando la definizione di limite si ottiene:
[math] \lim_{x\to x_0}g(x)=l [/math]
Esempio sul teorema dei carabinieri per i limiti finiti
Facciamo un esempio pratico per capire al meglio la teoria del teorema del confronto appena spiegata:
[math]\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=\frac{0}{0}=F.I.[/math]
[math]x>0[/math]
espresso in radianti. Indicati con [math]A(1,0)[/math]
, con [math]B[/math]
il punto di intersezione di tale raggio e la circonferenza e con [math]B'[/math]
la proiezione del punto [math]B[/math]
sull'asse delle ascisse, possiamo osservare che:[math]\overline{BB'} > \stackrel{\frown}{AB} > \overline{AT}[/math]
Dove
[math]\overline{BB'}[/math]
è il segmento di estremi [math]B, B'[/math]
, [math]\stackrel{\frown}{AB}[/math]
è l'arco di estremi [math]A, B[/math]
e[math]\overline{AT}[/math]
il segmento di estremi [math]A, T[/math]
, essendo [math]T[/math]
l'intersezione tra il raggio considerato e la retta tangente alla circonferenza nel punto [math]A[/math]
. In base alle definizioni note delle funzioni trigonometriche abbiamo:[math]\sin x > x > \tan x[/math]
Considerando
[math]x\to 0^+[/math]
e dividendo per la funzione seno la disuguaglianza precedente (tale funzione risulta sempre positiva, in questo caso) otteniamo:[math]1>\frac{x}{\sin x}>\frac{1}{\cos x}\ \Rightarrow\ \cos x>\frac{\sin x}{x} > 1[/math]
Dal momento che:
[math]\lim_{x\to 0^+} 1=\lim_{x\to 0^+}\cos x=1[/math]
Possiamo concludere che:
[math]\lim_{x\to 0^+}\frac{\sin x}{x}=1[/math]
Analogamente si dimostra il caso per
[math]x\to 0^-[/math]
.
Quando e come si utilizza il teorema del confronto per i limiti finiti?
Il teorema dei carabinieri o del confronto risulta particolarmente utile nei limiti in cui compaiono la funzione seno e/o coseno.Possono risultare utili le seguente relazioni notevoli:
- [math] -1 \leq sin(x) \leq 1[/math]
- [math] -1 \leq cos(x) \leq 1[/math]
- [math]|sin(x)| \leq |x|[/math]
Teorema del confronto per i limiti infiniti
In questo caso possiamo distinguere due casi, a seconda se la[math]x[/math]
tende ad un valore finito oppure ad un valore infinito.
Dimostrazione del teorema del confronto per i limiti infiniti quando la [math]x[/math] tende ad un valore finito:
Siano
[math]f, g [/math]
due funzioni definite in un intorno sinistro di un punto di accumulazione [math]x_0[/math]
, che per comodità indichiamo con [math]I_-[/math]
.Assumiamo che per ogni
[math]x \in I_- [/math]
la funzione [math]g(x) [/math]
assuma valori non inferiori a [math] f(x)[/math]
, in formule:[math] f(x) \geq g(x) \ \forall x \in I_- [/math]
Si ha che:
- Se [math]\lim_{x\to x_0^-}f(x)=+ \infty[/math]allora risulta che:[math]\lim_{x\to x_o^-}g(x)=+ \infty[/math];
- Se [math]\lim_{x\to x_0^-}g(x)=- \infty[/math]allora risulta che:[math]\lim_{x\to x_0^-}f(x)=-\infty[/math];
[math]I_+[/math]
vale l’analogo.
Dimostrazione del teorema del confronto per i limiti infiniti quando la [math]x[/math] tende ad un valore infinito:
Siano
[math]f, g [/math]
due funzioni definite in un intorno sinistro di un punto di accumulazione [math]x_0[/math]
, che per comodità indichiamo con [math]I_+\infty[/math]
.Assumiamo che per ogni
[math]x \in I_{+\infty} [/math]
la funzione [math]g(x) [/math]
assuma valori non inferiori a [math] f(x)[/math]
, in formule:[math] f(x) \geq g(x) \ \forall x \in I_{+\infty}[/math]
Si ha che:
- Se [math]\lim_{x\to {+\infty}}f(x)=+ \infty[/math]allora risulta che:[math]\lim_{x\to {+\infty}}g(x)=+ \infty[/math];
- Se [math]\lim_{x\to {+\infty}}g(x)=- \infty[/math]allora risulta che:[math]\lim_{x\to {+\infty}}g(x)=-\infty[/math];
[math]I_{-\infty}[/math]
vale l’analogo.Per ulteriori approfondimenti sul teorema del confronto vedi anche qua
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