Tecnologia e strumentazione biomedica

Prestazioni di un sistema di misura e del suo sensore (lezione 2)

L’architettura di un sistema di misura

In un sistema S che chiamo che potrebbe essere una macchina, una sorgente di segnali, organismo capace di generare segnali y, potenziali elettrici, pressioni, temperature ecc., anche variabili nel tempo, che sollecitano il sistema M.

L’obiettivo è misurare questi segnali y, attraverso questo sistema che definiremo sistema di misura M, che deve essere un sistema sollecitabile dal nostro sistema per poter misurare una risposta. Se è possibile determinare istante per istante il valore di y osservando il valore assunto dall’uscita z, allora il sistema M è detto sistema di misura. Non tutti i sistemi sono sistemi di misura, devono godere di determinate proprietà.

Altra nota è che y e z devono avere la stessa unità di misura: se y è una temperatura lo sarà anche z.

Ora addentriamoci nell’architettura dei sistemi di misura: vedo che è costituito da diversi blocchi, tra cui il primo è un sensore o trasduttore. Il primo è un trasduttore che ha finalità di misura, cioè trasforma il misurando in una forma utilizzabile dai blocchi successivi, mentre il secondo è un dispositivo che converte una forma di energia in un’altra ma non necessariamente per finalità di misura.

Prima ci siamo focalizzati sulle unità di misura perché per esempio Ψ, nella strumentazione moderna, è una grandezza elettrica, tipicamente di una tensione, quindi la sua unità di misura formalmente può non coincidere con l’unità di misura di y(t). Se per esempio y fosse una temperatura, Ψ invece è una tensione, mentre z ha stessa grandezza fisica di y. Per riuscire a ricostruire da Ψ, che ha natura fisica diversa da z, ho bisogno del blocco di ricostruzione che ha il compito di determinare y partendo da Ψ (psi).

Per fissare meglio il concetto vediamo degli esempi. Se consideriamo un termometro, il mio segnale y è la temperatura mentre Ψ è la dilatazione della colonnina di mercurio, è una lunghezza. Se prendo poi un dinamometro, che misura la forza peso dell’oggetto in figura, quindi questa è la mia y, mentre Ψ sarà l’estensione della molla, quindi anche qui avremmo una forza e una lunghezza.

Altro esempio è il voltmetro, l’unità di misura del segnale è in Volt perché è una tensione, mentre Ψ è l’angolo della lancetta che vediamo a schermo nello strumento. I loro corrispettivi digitali? La y non cambia, ma ora la Ψ sarà una tensione.

Un ulteriore esempio è un oggetto che misura la glicemia: la y sarà la glicemia, quindi la concentrazione di glucosio nel sangue, mentre Ψ sarà una tensione essendo un oggetto digitale.

Addentrandoci ancora di più nell’architettura di un sistema di misura, oltre al sensore e al blocco di ricostruzione, troviamo anche il blocco di manipolazione. Nella manipolazione dell’uscita del sensore, in genere di piccola ampiezza, viene amplificata e filtrata, i filtri sono usati per migliorare il rapporto segnale-rumore, visto che tutti i segnali sono affetti da rumori di misura, e perciò vogliamo che il nostro segnale venga ripulito dal rumore lasciando intatto il segnale utile di nostro interesse ovvero in questo caso il misurando y.

Ora facciamo un ulteriore step, inglobiamo manipolazione e ricostruzione in un unico blocco, e parliamo di conversione analogica-digitale: nella strumentazione moderna spesso viene incluso un elemento di questo tipo, e serve per l’elaborazione in formato digitale dei segnali.

Ci sono due operazioni fondamentali da compiere per procedere in questa conversione: campionamento + quantizzazione. Il primo consiste nel passaggio dal dominio del tempo da continuo a discreto, mentre il secondo consiste nel trasformare il segnale in determinati valori quantizzati.

Infine la manipolazione e la ricostruzione possono avvenire sia sul segnale analogico che sul segnale digitale.

Dunque facciamo un ulteriore passo e vediamo l’architettura di un sistema in cui troviamo la catena elementare di misura e gli elementi ausiliari. Con la catena elementare di misura intendiamo quella costituita dal sensore o trasduttore che ci serve appunto per convertire il nostro segnale, misurando, in una forma poi utilizzabile ai blocchi successivi, e il blocco di manipolazione, conversione analogico digitale e di ricostruzione; oltre a ciò abbiamo gli elementi ausiliari, come l’energia applicata che ha lo scopo di applicare una certa energia per ottenere il segnale, come per esempio la radiazione nelle bioimmagini, e il segnale di calibrazione che viene usato sia al sensore e sia nelle fasi di manipolazioni, ed è usato per determinare correttamente il valore del misurando y a partire dal segnale di uscita del nostro sistema di misura che poi vedremo.

Proviamo a pensare delle possibili aspirazioni dell’utilizzo dei sensori: per esempio il monitoraggio di segnali vitali.

Possibili utilizzi della misura

• Monitoraggio: L’applicazione primaria ovviamente è il monitoraggio, ovvero la visualizzazione dei valori assunti dal segnale di interesse appunto che vogliamo misurare come per esempio la frequenza cardiaca sul monitor.
• Predizione: Poi un altro esempio è la predizione, cioè vengono organizzati i dati raccolti, e attraverso l’utilizzo di appositi algoritmi, predire i valori futuri della grandezza che sto misurando. Quindi l’idea è, sfruttando una serie temporali del nostro segnale, attraverso algoritmi di predizione, predire i valori che può assumere la grandezza che stiamo misurando. Ciò è importante perché è utile per intraprendere azioni terapeutiche “preventive” piuttosto che “reattive”, cioè basate su una situazione attuale.
• Classificazione: Ulteriore utilizzo è la classificazione che consiste nell’associare il segnale misurato ad una particolare classe, come per esempio il tracciato ECG può essere classificato come normale o patologico.
• Generazione di allarmi: Legato al punto 3, c’è la generazione di allarmi, banalmente, qualora vengano attraversate delle soglie tramite degli algoritmi, è possibile riuscire a rivelare delle condizioni di pericolo. Come per esempio in una situazione in cui stiamo monitorando la glicemia, se il valore di glucosio supera una certa soglia, ipoglicemia o iperglicemia, può essere generato un allarme, o allarmi predittivi che generano un avviso predicendo il superamento di una certa soglia di pericolo.
• Memorizzazione: Finora abbiamo visto delle applicazioni “real time” ma in realtà ci sono anche altre possibilità. Esistono dispositivi di memorizzazione e quindi è di fondamentale importanza il concetto di digitalizzazione del segnale, ed eventualmente di analisi retrospettiva, cioè potendo guardare i dati raccolti, è possibile fare un’analisi offline sull’evoluzione del segnale misurato. Infatti siamo nell’era dei big data, perciò possiamo analizzare ed elaborare una grande quantità di dati, con l’obiettivo di estrapolare delle informazioni mediante delle tecniche di machine learning.
• Trasmissione: Un altro utilizzo è la trasmissione, cioè il semplice trasferimento dei segnali misurati come banalmente la trasmissione di cartelle cliniche o referti, ed eventualmente anche il telemonitoraggio, che consiste nella semplice visualizzazione dei valori assunti dai segnali però da remoto, per esempio la frequenza cardiaca su un monitor remoto: trasmettendo il dato sulla rete possiamo effettuare il monitoraggio remoto.
• Controllo: Ulteriore applicazione in questo caso attiva, è il controllo: in base alla misura del segnale y, un dispositivo di controllo che viene chiamato controllore, modifica gli ingressi a cui viene sottoposto il sistema S, sorgente, per ottenere l’evoluzione desiderata delle uscite. Un esempio è il pacemaker, che genera impulsi elettrici che serve a normalizzare l’attività cardiaca, o per esempio il pancreas artificiale che consiste nell’erogare insulina in pazienti affetti da diabete di tipo 1 per il controllo della glicemia. In particolare modo, nel caso del pancreas artificiale, il segnale u corrisponde all’insulina che viene erogata dall’algoritmo di controllo, al fine di mantenere la glicemia del paziente, blocco S, all’interno del range di sicurezza, la quale glicemia viene misurata e appunto il mio segnale z corrisponde alla glicemia misurata dal nostro sensore.
• Analisi sperimentale: Infine ultima applicazione è l’analisi sperimentale: l’obiettivo è quello di misurare gli ingressi a cui viene sottoposto il nostro sistema S, e le uscite, in modo da determinare la relazione che caratterizza in modo adeguato il legame ingresso uscita u-y, quindi caratterizza il nostro sistema. Per esempio l’obiettivo è andare a misurare il nostro segnale di ingresso che entra in S, u, e poi analizzare l’uscita y; attraverso l’utilizzo di due sistemi di misura M1 e M2, che convergono in una procedura di identificazione, possiamo sviluppare modelli della risposta all’ingresso.

Quindi vediamo in questa immagine un riassunto della catena elementare di misura riepilogando, e degli elementi ausiliari, e i possibili utilizzi che abbiamo descritto.

Quindi fino a qui abbiamo introdotto il concetto di sorgente dei segnali e abbiamo visto l’architettura del sistema di misura. Quest’ultimo dovrà godere di certe proprietà, ora andiamo ad elencarle.

Proprietà desiderate per un sistema di misura ed il suo sensore

Vediamo ora una lista di proprietà che deve avere un sistema di misura per essere definito tale, attraverso 5 punti.

• Accuratezza: immaginiamo che la quantità vera che voglio misurare, y, sia una incognita costante nel tempo, e ci domandiamo quanto la mia misura z si avvicina al valore di y, introdurremo delle metriche di performance che riguardano l’errore sistematico che commettiamo, e l’errore casuale.
• Campo di lavoro: questo secondo punto consisterà nel domandarsi se queste metriche di performance variano al variare del misurando y: ossia, errore sistematico ed errore casuale, sono uguali se provo a misurare una y di 300 Volt o una y di 300 kVolt? Quindi considereremo che y rimarrà costante ma il suo valore dovrà essere compreso in un range. Perciò il sistema deve essere accurato in tutto il campo di lavoro, perciò il sistema è accurato in tutto il campo di lavoro, ossia per ogni valore di y in uno specificato range.
• Contesto dinamico: qui inizieremo ad analizzare il caso in cui y(t) possa variare nel tempo, e ci chiederemo se z(t) è capace di seguire bene le sue variazioni nel tempo. Perciò bisogna considerare le proprietà desiderate del nostro sistema anche in un contesto dinamico.
• Sensibilità selettiva: ci chiederemo se l’uscita z del nostro sistema di misura sia selettivamente sensibile al solo ingresso y, perché oltre all’ingresso y possono essercene altri che possono alterare l’uscita del nostro sistema, come ingressi modificanti e ingressi indesiderati che non vogliamo influenzino l’uscita del sistema.
• Interconnessione: studieremo la connessione di M alla sorgente, e se essa vada o non vada ad alterare il valore del segnale y, perché ogni qual volta andiamo a collegare un sistema di misura alla sorgente, vi è uno scambio di energia tra M e S; questo scambio porta ad alterare il valore del segnale y, quindi l’obiettivo è cercare di ridurre al minimo questo errore definito come errore di interconnessione.

Prestazioni statiche: accuratezza

Attraverso le prestazioni statiche andremo a definire il concetto di accuratezza. Supponiamo di eseguire una serie di misure ripetute di una grandezza costante nel tempo y(t), che quindi possiamo assumere come y, elimino la dipendenza dal tempo. Supponiamo che questa y sia nota, grazie ad uno strumento di misura, non quello che vogliamo analizzare, ma un altro che è estremamente accurato, che ci restituisce esattamente il valore di y. Chiameremo queste misure che coincidono perfettamente col valore vero di y, z = y oppure gold standard o ground truth.

Così possiamo andare a definire il concetto di errore della misura che stiamo facendo, ed è la differenza tra la misura e il valore vero quindi il gold standard: e = z - y errore.

Supponiamo poi di ripetere la nostra misura z N volte; di conseguenza per ogni valore di z, per ogni misura, calcoliamoci l’errore di misura, cioè il dato i-esimo di z meno il nostro misurando:

e_i = z_i - y con i = 1, …, N.

Il concetto di accuratezza che andiamo a descrivere è dato dalla combinazione di due elementi, secondo la norma ISO: il concetto di esattezza e il concetto di precisione. Per meglio comprendere il concetto di accuratezza ci rifacciamo all’analogia delle freccette su un bersaglio.

Suppongo che il centro del bersaglio sia il valore vero del misurando. Nel caso in basso a destra abbiamo delle misure poco dispersive, e vicine al valore vero del misurando. Nel caso in alto a destra, le misure sono poco disperse, cioè il sensore è molto ripetibile, ma c’è un errore sistematico che ci distanzia le misure dal valore vero del misurando. Questo errore sistematico può però essere compensato in fase di calibrazione. In basso a sinistra vediamo che gli errori sono poco sistematici, cioè sono tutti diversi tra di loro, le misure sono molto sparpagliate: questo tipo di errore, non sistematico, è un errore che difficilmente può essere migliorato in fase di calibrazione, ma può essere compensato facendo la media di tante misure differenti.

La proprietà di avvicinarsi mediamente al bersaglio, quindi il valore medio, si chiama esattezza, mentre la capacità di ottenere una serie di tiri che sono tutti vicini tra di loro e quindi avere i singoli valori vicino alla media, è invece legato alla precisione. Quindi quello in basso a destra, ho un sensore con un’alta precisione e un’alta esattezza; quello in alto a destra ha un’ottima precisione, perché la distribuzione è concentrata, ma ha una bassa esattezza; quello in basso a sinistra ha un’ottima esattezza ma una bassa precisione.

Quindi secondo l’analogia delle freccette abbiamo visto una definizione pratica, vediamone una teorica, la definizione di accuratezza secondo la norma ISO 5725: l’accuratezza è una combinazione di esattezza e precisione, dove:

• L’esattezza è la differenza tra il valore osservato e quello vero, differenza dovuta all’errore sistematico che spesso può essere compensato tramite la procedura di calibrazione.
• La precisione, o ripetibilità, consiste nella dispersione delle misure attorno al valore medio, la deviazione standard ci dà l’indice di dispersione attorno al valore medio, e l’errore di precisione è dovuto all’errore casuale, che può essere compensato considerando il valore medio di più misure.
• L’insieme delle due proprietà, esattezza e precisione, viene chiamata accuratezza.

Per definire quindi queste prestazioni di un sensore, partendo dall’errore è possibile andare a definire dei modelli.

Prestazioni statiche: modello deterministico

Partiamo dal concetto di errore, applicato su n misure con il nostro misurando costante quindi che abbia appunto prestazioni statiche:

e_i = z_i - y con i = 1, …, N.

e z_i = y + e_i.

Possiamo caratterizzare l’errore in modo deterministico andando a valutare il massimo dell’errore:

• Massimo errore assoluto: max |e_i|, cioè il massimo errore assoluto che abbiamo commesso sulle N misure, perché il segnale può essere sovrastimato e aver segno positivo o sottostimato perciò con segno negativo; quantifica quindi il caso peggiore delle misure che abbiamo effettuato.
• Massimo errore relativo al fondo scala (FS): ossia l’errore corretto per il fondo scala del nostro strumento di misura ed è un errore relativo. Per esempio ho rilevato un errore di 2 Volt, e il massimo che posso misurare è 2000 Volt, allora l’errore massimo relativo è 2/2000 *100.
• Massimo errore relativo: cioè il massimo rapporto tra l’errore che ho commesso, e il valore vero della grandezza che sto misurando, non come prima relativo alla grandezza massima misurabile con quel sensore, cioè il fondo scala.

In questi casi quindi stiamo considerando l’errore massimo cioè il caso peggiore tra le nostre misure, e ciò ci costringe a fare dei ragionamenti severi e conservativi, perciò può essere più interessante avere un approccio frequentista, considerando la media degli errori.

Prestazioni statiche: modello frequentista-statistico

In questo caso, invece del valore massimo, si va ad usare il valore medio dell’errore assoluto.

Quindi l’errore e_i è caratterizzato in modo frequentista/statistico tramite:

• Errore assoluto medio.
• Errore assoluto relativo medio: è il valore medio dell’errore in termini assoluti, corretto rispetto al valore vero del misurando.

Nei casi con la percentuale a fianco, l’errore è adimensionale, mentre negli altri casi l’errore ha come unità di misura, l’unità di misura del misurando.

Il passo successivo è considerare un modello statistico dell’errore.

Prestazioni statiche: modello stocastico dell’errore

Consideriamo un modello statistico dell’errore: supponiamo che l’errore sia descritto da una variabile aleatoria, di cui è e_i, errore nella misura i-esima, una realizzazione. In particolare descriveremo:

• La media della variabile aleatoria, che ha a c