Sviluppo di derivate di ordine n di funzioni goniometriche con tecniche di analisi complessa

CUT/P

Una nota sullo sviluppo della derivata di ordine n (n intero positivo) delle funzioni

trigonometriche P(x) = Tan(x), e C(x) = Sec(x). Considerazioni ed osservazioni

di Pasquale Cutolo

p.cutolo@inwind.it

Development of derivatives of order n (n positive integer) of the trigonometric functions P(x)

= Tan(x) and C(x) = Sec(x). Some remarks by Pasquale Cutolo

Introduzione

Con il presente studio l’autore, utilizzando formule note, esamina lo sviluppo

delle derivate, di ordine (2n-1), e di ordine (2n), (n = 1,2,3,…), delle funzioni

trigonometriche P(x) = Tan(x), e C(x) = Sec(x), determinando le espressioni

che definiscono i coefficienti, in funzione di n, dei polinomi risultanti, ottenendo

formule complesse straordinarie ed inusuali. Alla fine viene aggiunta una

interessante applicazione.

Abstract

In this report the author uses well known formulas to revisit the development

of the derivatives of order (2n-1) and (2n), (n = 1,2,3,…), of the trigonometric

functions P(x) = Tan(x) and C(x) = Sec(x).

The formulas for the functions of n giving the coefficients of the resulting

polynomial expansions are derived through unusual developments of impressive

complexity. In the conclusions an interesting application is presented.

1

A.0.0- Caso A – P(x) = Tan(x)

E’ nota la seguente relazione dei complementi:

π

Γ Γ − =

( z ) (

1 z ) , 0 < z <1 (A.0.0.01)

π

Sin ( z )

∞

∫ − −

Γ = >

z 1 z

( z ) t e

essendo, , , la ben nota funzione di Eulero di seconda specie.

Re( z ) 0

0 1

= −

Ponendo, nella (A.0.0.01), , (x reale), e prendendo il logaritmo naturale

z x

2

di ambo i membri della (A.0.0.01), otteniamo:

1 1 π π

Γ − Γ + −

+ = (A.0.0.02)

ln ( x ) ln ( x ) ln ln Cos ( x )

2 2

Derivando, rispetto ad x, i due membri della (A.0.0.02), ricaviamo:

1 1 π π

Ψ + − Ψ − = , (A.0.0.03)

( x ) ( x ) Tan ( x )

2 2 Γ ' ( x ) π π

Ψ =

( x )

essendo , e è la tangente trigonometrica di .

Tan ( x ) ( x )

Γ ( x ) − −

x 1

t 1 [ ]

1

∫ γ

Ψ = + 1

dt , 9.541, pag. 1074), essendo

Ricordando che ( x ) , (Ved.

−

t 1

0

γ = 0,5772156649 la costante di Eulero-Mascheroni, dalla (A.0.0.03) ricaviamo:

− − − − − − − − −

− − −

ux ux u

x 1 / 2 x 1 / 2 u ( x 1 / 2 ) u ( x 1 / 2 ) / 2

t t e e ( e e ) e

∞ ∞

1

∫ ∫ ∫

− −

= = =

u u

dt (

t e ) e du = du =

−

− − −

u

u

t 1 e 1 e 1

0 0 0

Sinh ux

( ) 1

∞

∫ π π <

= du , , (A.0.0.04)

= Tan ( x ) x

Sinh u

( / 2

) 2

0 (2n-1) della funzione P(x) = .

Tan (x )

A.1.0- Derivata di ordine

Derivando, (2n-1) volte, la (A.0.0.04), rispetto ad x, troviamo:

−

n

2 1 n

( )

u Cosh ux

∞ ∑

∫ −

π π π π

( 2 n 1

) 2 n 2 h

du = [ Tan ( x )] = a [

Tan ( x )]

h

( / 2

)

Sinh u

0 =

h 0

π

− 2 ∑ π

− + −

− k 2 ix (

1 k ) ( 2 n 1

)

= [ ( 1

) e ] (A.1.0.01)

i ≥

k 0

Non è difficile verificare la relazione: n

∑

−

π π π π

( 2 n 1

) 2 n 2 h

[ Tan ( x )] = (A.1.0.02)

a [

Tan ( x )]

h

=

h 0

n

∑

−

( 2 n 1

) 2 h

[

Tan ( x )] =

e la relazione a [

Tan ( x )]

h

=

h 0 2

- a del polinomio rappresentato

A.1.1 Determinazione del termine noto 0 n

∑

−

( 2 n 1

) 2 h

dallo sviluppo della funzione [

Tan ( x )] = a [

Tan ( x )]

h

=

h 0

Dalla (A.1.0.01) ricaviamo: π

π − 2

2 ∑ π

−

− − + −

π π −

− ( 2 n 1

)

( 2 n 1

) k 2 ix (

1 k ) ( 2 n 1

)

[ Tan ( x )] = = [ ( 1

) e ] =

[ (

1 )]

π +

2 ix i

i e 1 ≥

k 0

π

− 2 ∑ π

− − +

π

− − +

k 2 n 1 2 ix (

1 k )

= ( 1

) [ 2 i (

1 k )] e , (A.1.1.01)

i ≥

k 0

= −

i 1 ; sostituendo k a (1+k), abbiamo:

∑ π

− − −

π π π − −

( 2 n 1

) 2 n 2 n n k 2 n 1 2 ixk

[ Tan ( x )] = 2 ( 1

) ( 1

) k e (A.1.1.02)

≥

k 1

Ponendo, nella (A.1.0.01) e (A.1.1.02), x = 0, troviamo:

−

2 n 1

u

∞ ∑

∫ −

π

π − −

n

2 2 n 2 n n k 2 n 1

du = = 2 ( 1

) ( 1

) k (A.1.1.03)

a 0

Sinh u

( / 2

)

0 ≥

k 1

Osserviamo che:

∑ ∑ ∑

− − −

− = − − =

k 2 n 1 2 n 1 2 n 1

( 1

) k ( 2 k ) ( 2 k 1

)

≥ ≥ ≥

k 1 k 1 k 1

∑ ∑ ∑ ∑

− − − −

− − + − =

2 n 1 2 n 1 2 n 1 2 n 1

( 2 k ) [ ( 2 k 1

) ( 2 k ) ( 2 k ) ]

≥ ≥ ≥ ≥

k 1 k 1 k 1 k 1

∑ ∑ ∑

− − − ζ

− + − −

2 n 1 2 n 1 2 n 1 2 n

= ( 2 k ) k ( 2 k ) = ( 2 1

) (

1 2 n ) ; (A.1.1.04)

≥ ≥ ≥

k 1 k 1 k 1 B

ζ ζ

− = − − =

2 n 1

ricordando che , e , (Ved. , 9.541, pag. 1074),

(

1 2 ) ( 2 ) 0

n

n 2 n B

∑ −

− = − −

k 2 n 1 2 n 2 n

troviamo che: (A.1.1.05)

( 1

) ( 2 1

)( )

k 2 n

≥

k 1 ζ

essendo B il numero di Bernoulli di indice 2n, mentre è la funzione

( )

s

2 n 1

∑

ζ =

Zeta di Riemann, definita da: ( s ) , Re(s) > 1

s

k

≥

k 1

Sostituendo il risultato della (A.1.1.05) nella (A.1.1.03), otteniamo:

B

−

π π − −

2 n 2 n 2 n n 1 2 n 2 n

= 2 ( 1

) ( 2 1

)

a 0 2 n

−

− =

n 1

( 1

) B B

Ricordando, inoltre, che , e semplificando, abbiamo:

2 n 2 n B

B

−

− − − 2 n

2 n 2 n

2 n n 1 2 n 2 n

a = = (A.1.1.06)

2 ( 1

) ( 2 1

) 2 ( 2 1

)

0 2 2

n n

che rappresenta l’espressione del termine noto, in funzione di n, del polinomio

n

∑ 2 h , di grado 2n.

[ ( )]

a Tan x

h

=

h 0

Osserviamo che, per n intero positivo, a risulta sempre intero positivo;

0

B

poiché è dato dal rapporto di due numeri interi, indicando con p e q

2 n B

detti numeri interi, ( = p/q), l’espressione (A.1.1.06) indica che a rappresenta

2 n 0

un numero che è un multiplo intero del numero intero q e di 2n.

3

L’espressione di a possiamo ricavarla anche utilizzando la relazione (A.1.1.03), infatti:

0

− −

2 n 1

u ( 2 1

)!

n

∞ ∞ ∑

∑

∫ ∫ − − −

π =

2 n 2 n 1 u / 2 uk

du = = = 2

a 2 u e e du

0 1

( / 2

)

Sinh u

0 0 +

≥ ≥0 2 n

k 0 k ( k )

2

1

∑

+ −

2 n 1 ; ma,

= 2 ( 2 n 1

)! + 2 n

(

1 2 k )

≥

k 0

1 1 1 1

∑ ∑ ∑ ∑

= −

+ =

+ +

2 n 2 n 2 n 2 n

(

1 2 k ) (

1 2 k ) ( 2 k ) ( 2 k )

≥0 ≥ ≥1 ≥1

k k 0 k k

1 1

∑ ∑ − ζ

−

− 2 n

= = (

1 2 ) ( 2 n ) ; (A.1.1.07)

2 n 2 n

( k ) ( 2 k )

≥1 ≥1

k k − π

2 n 1 2 n

2

ζ B

ricordando che: = , (A.1.1.08)

( 2 n ) 2 n

( 2 )!

n

[ ]

1

(Ved. , 9.541, pag. 1074), otteniamo: − π

2 n 1 2 n

2

1

∑

+ + − π

− −

−

2 n 1 2 n

2 n 1 2 n B

= 2 ( 2 n 1

)! (

1 2 ) = , (A.1.1.09)

2 ( 2 n 1

)! a

2 n 0

+ 2 n ( 2 )!

n

(

1 2 k )

≥

k 0 B

− 2 n

2 n 2 n

da cui: a = 2 ( 2 1

)

0 2 n

La relazione (A.1.1.06) è stata verificata con un programma di matematica.

a per n variabile da 1 a 10.

Riportiamo i valori di 0

n = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10

a = 1, 2, 16, 272, 7936, 353792, 22368256, 1903757312, 209865342976, 29088885112832

0

Dalla (A.1.1.09) ricaviamo:

π

−

2 n 2 n

( 2 1

)

1

∑ B

= (A.1.1.10)

2 n

+ 2 n 2

( 2 )!

n

(

1 2 k )

≥

k 0 n

∑ , in funzione di n.

a

A.1.2. – Determinazione dell’espressione della Somma h

=

h 0

Utilizzando le relazioni (A.1.0.01) e (A.1.1.02), e ponendo, x = ¼, troviamo:

n ∑ ∑

∑ π

− − −

π π

π − − − − −

2 n 2 n 2 n n k 2 n 1 2 ik / 4 2 n 2 n n k 2 n 1 k

= 2 ( 1

) ( 1

) k e = 2 ( 1

) ( 1

) k ( i ) , cioè:

a h

= ≥ ≥

h 0 k 1 k 1

n ∑ ∑ ∑

∑ − − − −

− − − + −

2 n n k 2 n 1 2 n n k 2 n 1 2 k 1 2 n 1

= 2 ( 1

) (

i ) k = 2 ( 1

) [ ( 1

) ( 2 k ) (

i ) ( 2 k 1

) ];

a h

= ≥ ≥ ≥

h 0 k 1 k 1 k 1

uguagliando le parti reali della precedente relazione, troviamo:

n ∑

∑ −

− −

2 n n k 2 n 1

= 2 ( 1

) ( 1

) ( 2 k ) ;

a h

= ≥

h 0 k 1

utilizzando la (A.1.1.04), o la (A.1.1.05), abbiamo:

n B

∑ − − −

ζ

− − − − −

4 n 1 n 1 2 n

2 n 2 n 1 n 2 n 2 n

= 2 2 ( 1

) ( 2 1

) (

1 2 n ) = =

2 ( 1

) ( 2 1

)

a h 2 n

=

h 0 4

B

− − 2 n

4 n 1 2 n

= , (A.1.2.01)

2 ( 2 1

) 2 n

La relazione (A.1.2.01) è stata verificata con un programma di matematica.

n

∑

Riportiamo i primi valori di per n variabile da 1 a 10.

a h

=

h 0

n = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10

n

∑ = 2, 16, 512, 34816, 4063232, 724566016, 183240753152, 62382319599616,

a h

=

h 0 27507470234550272, 15250953398036463616

Dividendo il risultato della (A.1.2.01) con quello della (A.1.1.06), otteniamo:

n

∑ −

2 n 1

( )/ a = 2 (A.1.2.02)

a h 0

=

h 0

-Determinazione in funzione di n,

A.1.3 delle espressioni che definiscono, n

∑ 2 h

dei termini del polinomio

i coefficienti a a a a

..., a Tan x

[ ( )]

1

, 2 , 3 , n h

=

h 0

Riprendiamo la formula indicata con (A.1.1.02)

n ∑

∑ π

− − −

π π π

π π − −

( 2 n 1

) 2 n 2 h 2 n 2 n n k 2 n 1 2 ixk

[ Tan ( x )] = = 2 ( 1

) ( 1

) k e , (A.1.3.01)

a Tan x

[ ( )]

h

= ≥

h 0 k 1 + it

1 1

π π

= =

e poniamo , da cui: = ,

Tan x t x ArcTan t ln

( ) ( ) −

i it

2 1

che sostituita nella (A.1.3.01) fornisce:

+

1 it −

n − 1 it

k ln

∑ ∑

∑ − −

− − − −

−

2 h 2 n n k 2 n 1 2 n n k 2 n 1 k

1 it 2 ( 1

) ( 1

) k ( )

= 2 ( 1

) ( 1

) k e = ; (A.1.3.02)

a t

h +

1 it

= ≥ ≥

h 0 k 1 k 1

derivando la (A.1.3.02), (2h) volte, rispetto a t, e ponendo dopo, t = 0, abbiamo:

−

1 it

∑ −

− −

2 n n k 2 n 1 k ( 2 h )

a ( 2 h )! = [ 2 ( 1

) ( 1

) k ( ) ] ;

=

h t 0

+

1 it

≥

k 1  

2 h

lim 2 h

∑ − −

−   − +

− + k ( 2 h j ) k ( j )

k k ( 2 h )

ora, = [(

1 it ) ] [(

1 it ) ] =

[(

1 it ) (

1 it ) ]  

= →

t 0 t 0 j

 

=

j 0

−

   

Γ + − Γ + − Γ +

2 h j j

2 h 2 h

2 h 2 h

( k 1

)( i ) ( k j )( i ) ( k j )

∑ ∑

    − h

= = k ( 1

) =

   

Γ + − + Γ Γ + − +

j j

  

 ( k 1 2 h j ) ( k ) ( k 1 2 h j )

= =

j 0 j 0

 

2 h 2 h

∑   − + − + − + − +

h

= k ( 1

) ( k j 1

)( k j 2

)...( k j 2 h 1

) ;

 

j

 

=

j 0

ricordiamo che nello sviluppo delle derivate abbiamo utilizzate le formule seguenti:

α β

Γ + Γ +

( 1

) ( n )

α α β β

− − − −

+ = + + = − +

( n ) n n ( n ) n n

D ( a bx ) b ( a bx ) ; D ( a bx ) ( b ) ( a bx ) ,

α β

x x

Γ + − Γ

( 1 n ) ( )

[ ]

5

(Ved. );

inoltre, ricordiamo la ben nota relazione: n

∑ k

x(x-1)(x-2)…(x-n+1) = , (A.1.3.03)

s n k x

( , )

=

k 0 5

dove i coefficienti s(n,k) rappresentano i numeri di Stirling di prima specie.

[ ]

8

(Ved. )  

h

2 2 h

∑   − + − + − + − +

h

Pertanto: k ( 1

) ( k j 1

)( k j 2

)...( k j 2 h 1

) =

 

j

 

=

j 0

     

−

−

h h 2 h 2 h 1

2 2 1

2 h 2 h u

( ) ( )

∑ ∑ ∑ ∑ ∑ −

     

− − + − − − −

h u h p u p

= k ( 1

) s 2 h 1

, u ( k j 1

) = k ( 1

) s 2 h 1

, u k ( j 1

) ;

     

j j p

     

= = ≥

= =

j u j 0 u 0 p 0

0 0    

−

2 h 2 h 1

2 h u

( )

∑ ∑ ∑

∑ −

   

− − − − −

h p u p

2 n n k 2 n

quindi: a ( 2 h )! = 2 ( 1

) ( 1

) k ( 1

) s 2 h 1

, u k ( j 1

) =

   

h j p

   

≥ = = ≥

k 1 j 0 u 0 p 0

   

−

2 h 2 h 1

2 h u

( )

∑ ∑ ∑ ∑

− +

   

− − − − −

2 n n h u p k 2 n p

= 2 ( 1

) ( 1

) s 2 h 1

, u ( j 1

) ( 1

) k ;

   

j p

   

= = ≥ ≥

j 0 u 0 p 0 k 1

ζ − −

sappiamo che = 0, [(n + p) intero > 0)], e quindi:

n p

( 2 2 )    

−

2 h 2 h 1

2 h u

( )

∑ ∑ ∑ ∑

− + + −

   

− − − − −

2 n n h u 2 p 1 k 2 n 2 p 1

a ( 2 h )! = 2 ( 1

) ( 1

) s 2 h 1

, u ( j 1

) ( 1

) k ;

   

−

h j 2 p 1

   

= = ≥ ≥

j 0 u 0 p 1 k 1

ricordiamo che: B

∑ +

+

+ − + ζ 2 n 2 p

− −

− − − − 2 n 2 p

k 2 n 2 p 1 2 n 2 p ( 2 1

)( )

( 1

) k = ( 2 1

) (

1 2 n 2 p ) = ;

+

n p

2 2

≥

k 1 =

quindi: a ( 2 h )!

h  

  − B

2 h 2 h 1

2 h u

( )

∑ ∑ ∑ +

− − + +

    2 n 2 p

− − − − −

2 n n 1 h u 2 p 1 2 n 2 p

= 2 ( 1

) ( 1

) s 2 h 1

, u ( j 1

) ( 2 1

) ; (A.1.3.04)

   

− +

j 2 p 1

    2 n 2 p

= = ≥

j 0 u 0 p 1

osserviamo che nello sviluppo della relazione precedente (A.1.3.04), al variare di j, u, p,

0

si presentano valori indeterminati ( 0 ) . Per eliminare detti inconvenienti calcoliamo

l’espressione (A.1.3.04), per j = 0, per j = 1, e per j > 1.

Così operando, troviamo:

 

2 h 2 h

∑   − + − + − + − +

h

1) per j = 0, k ( 1

) ( k j 1

)( k j 2

)...( k j 2 h 1

) =

 

j

 

=

j 0 2 h

∑

− − − − + −

h h u

= ( 1

) k ( k 1

)( k 2

)...( k 2 h 1

) = ;

s h u k

( 1

) ( 2 , )

=

u 0

2 h

∑ ∑

−

− − −

2 n n k 2 n 1 h u

[ = 2 ( 1

) ( 1

) k =

a h

( 2 )! ] s h u k

( 1

) ( 2 , )

=

h j 0 ≥ =

k 1 u 0

2 h

∑ ∑ + −

− − −

2 n n h k 2 n u 1

= 2 ( 1

) ( 1

) =

s h u k

( 2 , ) ( 1

)

= ≥

u 0 k 1

h

∑ ∑ + −

− − −

2 n n h k 2 n 2 u 1

= 2 ( 1

) ( 1

) =

s h u k

( 2 , 2 ) ( 1

)

= ≥

u 0 k 1

h

∑ + ζ

− − − − −

2 n n h 2 n 2 u

= =

s h u n u

2 ( 1

) ( 1

) ( 2 , 2 ) ( 2 1

) (

1 2 2 )

=

u 0

h B

∑ +

− +

− − −

2 n 2 u

2 n n 1 h 2 n 2 u

= s h u

2 ( 1

) ( 1

) ( 2 , 2 ) ( 2 1

) +

n u