Serie: sum_{n=1}^(+infty)((1+1/n)^n-e)/n^alpha

Convergenza della serie

Discutere, al variare di α ∈ R, la convergenza della serie

∑_n=1^+∞ (1 − e^{n log(1 + 1/n) − 1})/n^α.

Soluzione

Osserviamo che il numeratore può essere riscritto nel seguente modo:

1 − e^{n log(1 + 1/n) − 1} = −(e^{n log(1 + 1/n) − 1}).

Ora, per un noto limite notevole,

lim_n→+∞ [n log(1 + 1/n) − 1] = 0,

per cui e^{n log(1 + 1/n) − 1} − 1 è asintotico ad n log(1 + 1/n) − 1.

Osserviamo infine che, chiamando 1/n = t, si ha che

n log(1 + 1/n) − 1 = [log(1 + t) − t]/t

ed è asintotico a t (per t → 0); infatti, applicando il Teorema de de l’Hôpital:

lim_t→0 [log(1 + t) − t]/t² = lim_t→0 [1/(1 + t) − 1]/2t = −1/2.

Essendo tale limite diverso da zero e finito, la serie iniziale diventa equivalente, per il criterio del confronto asintotico, alla serie

∑_n=1^+∞ 1/n^α+1,

che converge se e solo se α + 1 > 1, che dà α > 0.