Studiare il carattere delle seguenti serie numeriche (an ne indica il termine generale) con segno variabile

Studiare il carattere delle seguenti serie numeriche (a ne indica il termine generale)

n Francesco Camia

1) Essendo, per ogni n≥3 , lnn>1, risulta ln(lnn)>0 per ogni n≥3, quindi si tratta di una serie a

termini a segni alterni. Esaminiamo prima la serie dei moduli; siccome, per ogni t reale posi-

≥

≤ ≤ ≤ .

tivo, si ha che lnt t , risulta ln(lnn) lnn n , pertanto

Essendo 1/n termine generale di una serie divergente, la serie dei moduli diverge per il crite-

rio del confronto, quindi la serie data non converge assolutamente.

La successione è positiva, infinitesima e decrescente (dal momento che lnn è cre-

scente ed ln(lnn) è crescente e positivo), quindi la serie data converge per il criterio di

Leibnitz.

2) Il termine generale della serie cambia di segno, ma non con perfetta alternanza. Essendo

≤

n

|sint| ≤ ≥

1 per ogni t reale ed essendo 3 n per ogni n naturale, risulta che

2

da cui, ricordando che 1/n è il termine generale di una serie (armonica generalizzata) con-

vergente, la serie dei moduli converge per il criterio del confronto, quindi la serie data con-

verge assolutamente e quindi anche semplicemente.

|sint ≤ t |sin(n2 ≤

n

Altrimenti si poteva notare che, essendo per ogni t reale, risulta )|

≤

| | =

n n ed essendo quest’ultima termine generale di una

n2 n2 , da cui

serie (geometrica) convergente, la serie dei moduli converge per il criterio del confronto,

quindi la serie data converge assolutamente e quindi anche semplicemente.

3) n! è uguale ad 1 per n = 0 e per n = 1 e per ogni n≥2 è pari, quindi è definitivamente

≤ ≤ |2cosn+(-1) ≤

n!

uguale ad 1; risulta inoltre -2 2cosn 2, quindi definitivamente risulta

≤

3. n√n positivo per ogni n≥1, risulta

Essendo ed essendo quest’ulti-

ma, a meno del fattore 3, termine generale di una serie (armonica generalizzata) convergen-

te, la serie dei moduli converge per il criterio del confronto, quindi la serie data converge as-

solutamente e quindi anche semplicemente.

4) ,

Risulta e quindi si ha che

.