Studiare il carattere delle seguenti serie numeriche (an ne indica il termine generale) con segno variabile

Studiare il carattere delle seguenti serie numeriche (a ne indica il termine generale)

n Francesco Camia

1)

Essendo, per ogni n ≥ 3, ln n > 1, risulta ln(ln n) > 0 per ogni n ≥ 3, quindi si tratta di una serie a termini a segni alterni.

Esaminiamo prima la serie dei moduli; siccome, per ogni t reale positivo, si ha che ln t ≤ t, risulta ln(ln n) ≤ ln n ≤ n, pertanto

Essendo 1/n termine generale di una serie divergente, la serie dei moduli diverge per il criterio del confronto, quindi la serie data non converge assolutamente.

La successione è positiva, infinitesima e decrescente (dal momento che ln n è crescente ed ln(ln n) è crescente e positivo), quindi la serie data converge per il criterio di Leibnitz.

2)

Il termine generale della serie cambia di segno, ma non con perfetta alternanza.

Essendo |sin t| ≤ 1 per ogni t reale ed essendo 3 ≤ n per ogni n naturale, risulta che

|sin t| ≤ ≥

1 per ogni t reale ed essendo 3 ≤ n per ogni n naturale, risulta che

2

da cui, ricordando che 1/n è il termine generale di una serie (armonica generalizzata) convergente, la serie dei moduli converge per il criterio del confronto, quindi la serie data converge assolutamente e quindi anche semplicemente.

|sin t| ≤ t |sin(n² ≤

n

Altrimenti si poteva notare che, essendo per ogni t reale, risulta )|

≤

| | =

n n ed essendo quest’ultima termine generale di una

n² n², da cui

serie (geometrica) convergente, la serie dei moduli converge per il criterio del confronto, quindi la serie data converge assolutamente e quindi anche semplicemente.

3)

n! è uguale ad 1 per n = 0 e per n = 1 e per ogni n ≥ 2 è pari, quindi è definitivamente

≤ ≤ |2 cos n + (-1) ≤

n!

uguale ad 1; risulta inoltre -2 ≤ 2 cos n ≤ 2, quindi definitivamente risulta

≤

3. n√n positivo per ogni n ≥ 1, risulta

Essendo ed essendo quest’ultima, a meno del fattore 3, termine generale di una serie (armonica generalizzata) convergente, la serie dei moduli converge per il criterio del confronto, quindi la serie data converge assolutamente e quindi anche semplicemente.

4)

,

Risulta e quindi si ha che

.